题目
【填空题】设随机变量 X ~ B (100 , 0.5) ,应用中心极限定理可算得 P(40< X <60)≈______ . ( 附: (2)=0.9772)
【填空题】设随机变量 X ~ B (100 , 0.5) ,应用中心极限定理可算得 P{40< X <60}≈______ . ( 附: (2)=0.9772)
题目解答
答案
["0.9544"]
解析
步骤 1：确定随机变量的分布参数
随机变量 X 服从二项分布 B(100, 0.5)，其中 n = 100，p = 0.5。
步骤 2：计算二项分布的均值和方差
均值 μ = np = 100 * 0.5 = 50
方差 σ^2 = np(1-p) = 100 * 0.5 * 0.5 = 25
标准差 σ = √25 = 5
步骤 3：应用中心极限定理进行近似
根据中心极限定理，当 n 足够大时，二项分布可以近似为正态分布 N(μ, σ^2)。
因此，X 近似服从 N(50, 25)。
步骤 4：计算概率 P{40 < X < 60}
将 X 转换为标准正态分布 Z，其中 Z = (X - μ) / σ
P{40 < X < 60} = P{(40 - 50) / 5 < Z < (60 - 50) / 5}
= P{-2 < Z < 2}
= Φ(2) - Φ(-2)
= 2Φ(2) - 1
= 2 * 0.9772 - 1
= 0.9544
随机变量 X 服从二项分布 B(100, 0.5)，其中 n = 100，p = 0.5。
步骤 2：计算二项分布的均值和方差
均值 μ = np = 100 * 0.5 = 50
方差 σ^2 = np(1-p) = 100 * 0.5 * 0.5 = 25
标准差 σ = √25 = 5
步骤 3：应用中心极限定理进行近似
根据中心极限定理，当 n 足够大时，二项分布可以近似为正态分布 N(μ, σ^2)。
因此，X 近似服从 N(50, 25)。
步骤 4：计算概率 P{40 < X < 60}
将 X 转换为标准正态分布 Z，其中 Z = (X - μ) / σ
P{40 < X < 60} = P{(40 - 50) / 5 < Z < (60 - 50) / 5}
= P{-2 < Z < 2}
= Φ(2) - Φ(-2)
= 2Φ(2) - 1
= 2 * 0.9772 - 1
= 0.9544