题目
(填空题,3.0分)设X与Y是两个随机变量,已知D(X) =1,D(Y) =2,cov(X,Y) =0.3,则D(2 X+Y) = ____.
(填空题,3.0分)设X与Y是两个随机变量,已知D(X) =1,D(Y) =2,cov(X,Y) =0.3,则D(2 X+Y) = ____.
题目解答
答案
已知随机变量X和Y的方差分别为D(X)=1，D(Y)=2，协方差cov(X,Y)=0.3，要求随机变量2X+Y的方差D(2X+Y)。
根据方差的性质和协方差的定义，我们有
其中a和b是常数。
将已知的数值代入上述公式，我们得到
解析
步骤 1：应用方差的性质
根据方差的性质，对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有
\[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab \cdot \text{cov}(X, Y) \]
步骤 2：代入已知数值
已知D(X) = 1，D(Y) = 2，cov(X, Y) = 0.3，a = 2，b = 1，代入上述公式，我们得到
\[ D(2X + Y) = 2^2 \times 1 + 1^2 \times 2 + 2 \times 2 \times 1 \times 0.3 \]
步骤 3：计算结果
\[ D(2X + Y) = 4 + 2 + 1.2 = 7.2 \]
根据方差的性质，对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有
\[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab \cdot \text{cov}(X, Y) \]
步骤 2：代入已知数值
已知D(X) = 1，D(Y) = 2，cov(X, Y) = 0.3，a = 2，b = 1，代入上述公式，我们得到
\[ D(2X + Y) = 2^2 \times 1 + 1^2 \times 2 + 2 \times 2 \times 1 \times 0.3 \]
步骤 3：计算结果
\[ D(2X + Y) = 4 + 2 + 1.2 = 7.2 \]