题目
设随机变量_(1),(X)_(2)相互独立同分布_(1),(X)_(2)，令_(1),(X)_(2)，则_(1),(X)_(2)等于（）A._(1),(X)_(2)B._(1),(X)_(2)C._(1),(X)_(2)D._(1),(X)_(2)
设随机变量
相互独立同分布
，令
，则
等于（）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
随机变量相互独立同服从正态分布，则
，
，则
，
，因此选择B。
解析
步骤 1：计算$E(\overline {X})$
由于$X_1$和$X_2$相互独立同分布，且服从正态分布$N(2,9)$，则$E(X_1)=E(X_2)=2$。因此，$\overline {X}=\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{2}$的期望值为$E(\overline {X})=E(\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{2})=\dfrac {1}{2}[ E({X}_{1})+\square ({X}_{2})] =\dfrac {1}{2}(2+2)=2$。
步骤 2：计算$D(\overline {X})$
由于$X_1$和$X_2$相互独立同分布，且服从正态分布$N(2,9)$，则$D(X_1)=D(X_2)=9$。因此，$\overline {X}=\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{2}$的方差为$D(\overline {X})=D(\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{2})=\dfrac {1}{4}D({X}_{1}+{X}_{2})=\dfrac {1}{4}[ D({X}_{1})+D({X}_{2})+2Cw({X}_{1},{X}_{2})]=\dfrac {1}{4}(9+9+2\times 0)=4.5$。
由于$X_1$和$X_2$相互独立同分布，且服从正态分布$N(2,9)$，则$E(X_1)=E(X_2)=2$。因此，$\overline {X}=\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{2}$的期望值为$E(\overline {X})=E(\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{2})=\dfrac {1}{2}[ E({X}_{1})+\square ({X}_{2})] =\dfrac {1}{2}(2+2)=2$。
步骤 2：计算$D(\overline {X})$
由于$X_1$和$X_2$相互独立同分布，且服从正态分布$N(2,9)$，则$D(X_1)=D(X_2)=9$。因此，$\overline {X}=\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{2}$的方差为$D(\overline {X})=D(\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{2})=\dfrac {1}{4}D({X}_{1}+{X}_{2})=\dfrac {1}{4}[ D({X}_{1})+D({X}_{2})+2Cw({X}_{1},{X}_{2})]=\dfrac {1}{4}(9+9+2\times 0)=4.5$。