题目
某汽车电瓶商声称其生产的电瓶具有均值为60个月、标准差为6个月的寿命分布。现假设质检部门决定检验该厂的说法是否准确, 为此随机抽取了50个该厂生产的电瓶进行寿命试验。(1)假定厂商声称是正确的, 试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布。(2)假定厂商声称正确, 则50个样品组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率为多少? (Φ(3.0529)=0.9998)(3)假定测得该50个样品组成的样本的平均寿命为57个月, 请问厂商的声称是否正确?
某汽车电瓶商声称其生产的电瓶具有均值为60个月、标准差为6个月的寿命分布。现假设质检部门决定检验该厂的说法是否准确, 为此随机抽取了50个该厂生产的电瓶进行寿命试验。
(1)假定厂商声称是正确的, 试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布。
(2)假定厂商声称正确, 则50个样品组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率为多少? (Φ(3.0529)=0.9998)
(3)假定测得该50个样品组成的样本的平均寿命为57个月, 请问厂商的声称是否正确?
题目解答
答案
解: (1)根据中心极限定理可以推出50个电瓶的平均寿命的分布服从正态分布, 其均值=60, 方差, 即~
(2)如果厂方声称是正确的, 则观察得到的50个电池的平均寿命不超过57个月的概率为:
即如果厂方的说法正确, 则50个电瓶的平均寿命不超过57个月的概率为0.0002, 这是一个不可能事件。根据小概率事件原理, 观察到50个电瓶的平均寿命小于或等于57个月的事件是不可能的。
(3)由(2)可知, 如果真的观察得到50个电瓶的平均寿命低于57个月, 则有利有怀疑厂方说法的正确性, 即可认为厂方的说法是不正确的。
解析
步骤 1：描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，50个电瓶的平均寿命的抽样分布为正态分布，其均值为60个月，标准差为6个月除以样本量的平方根，即$\sigma_{\overline{x}} = \frac{6}{\sqrt{50}}$。
步骤 2：计算50个样品组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率
首先，计算标准化的Z值，即$Z = \frac{57 - 60}{\sigma_{\overline{x}}} = \frac{57 - 60}{\frac{6}{\sqrt{50}}} = \frac{-3}{\frac{6}{\sqrt{50}}} = -3.529$。然后，利用标准正态分布表或函数Φ(Z)来计算概率，即$P(\overline{x} \leq 57) = P(Z \leq -3.529) = 1 - P(Z \leq 3.529) = 1 - 0.9998 = 0.0002$。
步骤 3：判断厂商的声称是否正确
根据小概率事件原理，如果观察到的样本均值的概率非常小（例如小于0.05），则可以怀疑厂商的声称是否正确。在这个例子中，50个电瓶的平均寿命不超过57个月的概率为0.0002，这是一个非常小的概率，因此可以怀疑厂商的声称是否正确。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，50个电瓶的平均寿命的抽样分布为正态分布，其均值为60个月，标准差为6个月除以样本量的平方根，即$\sigma_{\overline{x}} = \frac{6}{\sqrt{50}}$。
步骤 2：计算50个样品组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率
首先，计算标准化的Z值，即$Z = \frac{57 - 60}{\sigma_{\overline{x}}} = \frac{57 - 60}{\frac{6}{\sqrt{50}}} = \frac{-3}{\frac{6}{\sqrt{50}}} = -3.529$。然后，利用标准正态分布表或函数Φ(Z)来计算概率，即$P(\overline{x} \leq 57) = P(Z \leq -3.529) = 1 - P(Z \leq 3.529) = 1 - 0.9998 = 0.0002$。
步骤 3：判断厂商的声称是否正确
根据小概率事件原理，如果观察到的样本均值的概率非常小（例如小于0.05），则可以怀疑厂商的声称是否正确。在这个例子中，50个电瓶的平均寿命不超过57个月的概率为0.0002，这是一个非常小的概率，因此可以怀疑厂商的声称是否正确。