21.设函数f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内大于零,并满足xf'(x)=f(x)+x√x.设曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的平面图形为D，D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为π.求:(1)f(x);(2)平面图形D的面积;(3)平面图形D绕x=-1旋转一周所得旋转体的体积V.

(1) 由微分方程 $ xf'(x) = f(x) + x\sqrt{x} $，解得 $ f(x) = 2x^{3/2} + Cx $。 由体积条件 $ \pi \int_0^1 [f(x)]^2 \, dx = \pi $，解得 $ C = 0 $。 故 $ f(x) = 2x^{3/2} $。 (2) 平面图形 $ D $ 的面积 $ A $ 为： \[ A = \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 2x^{3/2} \, dx = \frac{4}{5} \] (3) 绕 $ x = -1 $ 旋转所得体积 $ V $ 为： \[ V = 2\pi \int_0^1 (x + 1) f(x) \, dx = 2\pi \int_0^1 (x + 1) \cdot 2x^{3/2} \, dx = \frac{96\pi}{35} \] **答案：** (1) $ f(x) = 2x^{3/2} $ (2) 面积 $ A = \frac{4}{5} $ (3) 体积 $ V = \frac{96\pi}{35} $ \[ \boxed{ \begin{array}{ccc} \text{(1) } f(x) = 2x^{3/2} \\ \text{(2) } A = \frac{4}{5} \\ \text{(3) } V = \frac{96\pi}{35} \end{array} } \]