题目

8.设x1,x2,···,xn是来自 U(-1,1) 的样本,试求E(x )和Var(x).

题目解答

答案

解析

本题考查均匀分布的期望和方差公式，以及样本均值的期望和方差的性质。解题思路思路是先根据均匀分布的期望和方差公式求出总体的期望和方差，再利用样本均值的期望和方差与总体期望和方差样本方差之间的关系来计算样本均值的期望和方差。

  1. 求总体 $U(-1,1)$ 的期望 $E(X)$ 和方差 $Var(X)$
    • 对于均匀分布 $U(a,b)$，其期望公式为 $E(X)=\frac{a + b}{2}$，方差公式为 $Var(X)=\frac{(b - a)^2}{12}$。
    • 在本题中，$a=-1$，$b = 1$，将其代入期望公式可得：
      $E(X)=\frac{-1 + 1}{2}=0\frac{0}{2}=0$
    • 将 $a=-1$，$b = 1$ 代入方差公式可得：
      $Var(X)=\frac{(1-(-1))^2}{12}=\frac{2^2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
  2. 求样本均值 $\overline{x}$ 的期望 $E(\overline{x})$
    • 已知样本 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 来自总体 $X$，样本均值 $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$。
    • 根据期望的线性性质 $E(cY)=cE(Y)$（$c$ 为常数，$Y$ 为随机变量）和 $E(Y_1+Y_2)=E(Y_1)+E(Y_2)$，可得：
      $E(\overline{x})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i)=\frac{1}{n}E(\sum_{i = 1}^{n}x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(x_i)$
    • 因为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 来自总体 $X$，所以 $E(x_i)=E(X)$ = 0)，则：
      $E(\overline{x})=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}0=\frac{1}{n}\cdot0 = 0$
  3. 求样本均值 $\overline{x}$ 的方差 $Var(\(\overline{x}$)
    • 根据方差的性质 $Var(cY)=c^2Var(Y)$（$c$ 为常数，$Y$ 为随机变量），可得：
      $Var(\overline{x})=Var(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i)=\frac{1}{n^2}Var(\sum_{i = 1}^{n}x_i)$
    • 又因为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 相互独立，所以 $Var(\sum_{i = 1}^{n}x_i)=\sum_{i = 1}^{n}Var(x_i)$。
    • 由于 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 来自总体 $X$，所以 $Var(x_i)=Var(X)=\frac{1}{3}$，则：
      $Var(\overline{x})=\frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}Var(x_i)=\frac{1}{n^2}\cdot n\cdot Var(X)=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3n}$