题目
设 Phi(x) 为标准正态分布的分布函数，X_i = } 1, & 事件A发生 0, & 否则 (i=1,2,...,n)且 P A. =p，X_1, X_2, ldots, X_n 相互独立。令 Y=sum_(i=1)^nX_i，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F(y) 近似于(）A. Phi(y);B. Phi((y-np)/(sqrt(np(1-p))));C. Phi(y-np);D. Phi((y-np)/(np(1-p)))。
设 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，$X_i = \begin{cases} 1, & 事件A发生 \\ 0, & 否则 \end{cases}$ ($i=1,2,\cdots,n$)且 P
- A. =p，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 相互独立。令 $Y=\sum_{i=1}^{n}X_i$，则由中心极限定理知 $Y$ 的分布函数 $F(y)$ 近似于(）
- A. $\Phi(y)$;
- B. $\Phi\left(\frac{y-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$;
- C. $\Phi(y-np)$;
- D. $\Phi\left(\frac{y-np}{np(1-p)}\right)$。
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要使用中心极限定理（CLT）。中心极限定理指出，大量独立同分布（i.i.d.）随机变量的和的分布，无论每个随机变量的原始分布如何，都将近似于正态分布。
在这个问题中，我们有 $ n $ 个独立的随机变量 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $，其中每个 $ X_i $ 定义为：
\[ X_i = \begin{cases}
1 & \text{如果事件 } A \text{ 发生} \\
0 & \text{否则}
\end{cases} \]
事件 $ A $ 发生的概率是 $ p $，因此 $ X_i $ 的期望值 $ E(X_i) $ 和方差 $ \text{Var}(X_i) $ 分别为：
\[ E(X_i) = p \]
\[ \text{Var}(X_i) = p(1-p) \]
我们定义随机变量 $ Y $ 为 $ X_i $ 的和：
\[ Y = \sum_{i=1}^n X_i \]
$ Y $ 的期望值和方差为：
\[ E(Y) = E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = np \]
\[ \text{Var}(Y) = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = np(1-p) \]
根据中心极限定理，对于大的 $ n $，随机变量 $ Y $ 的分布将近似于均值为 $ np $ 和方差为 $ np(1-p) $ 的正态分布。为了标准化 $ Y $，我们从 $ Y $ 中减去均值，然后除以标准差：
\[ Z = \frac{Y - np}{\sqrt{np(1-p)}} \]
随机变量 $ Z $ 近似服从标准正态分布，其分布函数为 $ \Phi(z) $。
因此，$ Y $ 的分布函数 $ F(y) $ 近似为：
\[ F(y) \approx \Phi\left(\frac{y - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \]
所以，正确答案是：
\[ \boxed{B} \]
解析
考查要点：本题主要考查中心极限定理（CLT）的应用，以及如何将二项分布近似为正态分布。
解题核心思路：
- 识别变量类型：题目中$Y$是$n$个独立伯努利试验的成功次数，服从二项分布$B(n,p)$。
- 应用中心极限定理：当$n$较大时，二项分布可近似为正态分布，需计算均值和方差。
- 标准化处理：将$Y$标准化为标准正态变量形式，对应选项中的表达式。
破题关键点：
- 二项分布的均值和方差：$E(Y)=np$，$\text{Var}(Y)=np(1-p)$。
- 标准化公式：$\frac{Y - np}{\sqrt{np(1-p)}}$，对应标准正态分布函数$\Phi$。
步骤1：确定$Y$的分布特性
- $Y = \sum_{i=1}^n X_i$，其中$X_i \sim \text{Bernoulli}(p)$，且相互独立。
- 均值：$E(Y) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = np$。
- 方差：$\text{Var}(Y) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = np(1-p)$。
步骤2：应用中心极限定理
当$n$较大时，$Y$近似服从正态分布$N(np, np(1-p))$。
标准化后：
$Z = \frac{Y - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx \Phi(z)$
因此，$Y$的分布函数可表示为：
$F(y) \approx \Phi\left( \frac{y - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)$
步骤3：匹配选项
选项B的表达式$\Phi\left( \frac{y - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)$与上述结果一致。