设有函数f:A→B，g:B→C，h:C→A,且hgf和gfh是满射,fhg是内射，试证明g、f、h是双射。

解答：

给定条件:

函数 f: A → B

函数 g: B → C

函数 h: C → A

hgf 和 gfh 是满射

fhg 是内射

需要证明:

g、f、h 是双射

证明过程:

首先证明 g 是满射。 由于 hgf 是满射,根据满射的定义,对于 A 中的任意元素 a,存在 b ∈ B 和 c ∈ C,使得 h(g(f(a))) = a。 也就是说,对于 B 中任意元素 b = f(a),存在 c ∈ C 使得 g(b) = c。 因此,g 是满射。

其次证明 f 是满射。 由于 gfh 是满射,根据满射的定义,对于 C 中的任意元素 c,存在 a ∈ A 和 b ∈ B,使得 g(f(h(c))) = c。 也就是说,对于 B 中任意元素 b = f(h(c)),存在 a ∈ A 使得 f(a) = b。 因此,f 是满射。

再证明 h 是满射。 由于 hgf 是满射,我们已经知道对于 A 中任意元素 a,存在 b ∈ B 和 c ∈ C,使得 h(g(f(a))) = a。 也就是说,对于 C 中任意元素 c = g(f(a)),存在 a ∈ A 使得 h(c) = a。 因此,h 是满射。

最后证明 g、f、h 是内射。 由于 fhg 是内射,根据内射的定义,对于 B 中任意元素 b₁ 和 b₂,如果 fhg(b₁) = fhg(b₂),那么 b₁ = b₂。 也就是说,如果 g(b₁) = g(b₂),那么 b₁ = b₂。因此,g 是内射。 同理,我们可以证明 f 和 h 也是内射。

综上所述,我们已经证明了 g、f、h 既是满射又是内射,因此它们都是双射。

证毕。