七、(12分)设总体X的概率密度为f(x)=}sqrt(theta)x^sqrt(theta)-1,0le xle 1theta,其他为取自总体X的一个样本，求theta的矩估计量及最大似然估计量.

考查要点：本题主要考查参数估计中的矩估计法和最大似然估计法的应用。
解题思路：

1. 矩估计：通过计算总体的一阶原点矩（期望），建立样本矩与总体矩的方程，解方程得到估计量。
2. 最大似然估计：构造似然函数，取对数后求导，解方程得到估计量。
   关键点：

• 矩估计中需正确计算期望积分，注意概率密度函数的定义域。
• 最大似然估计中需对含乘积形式的似然函数取对数简化运算，并正确处理对数求导后的代数变形。

矩估计量

计算总体期望

总体 $X$ 的期望为：
$E(X) = \int_0^1 x \cdot \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1} \, dx = \sqrt{\theta} \int_0^1 x^{\sqrt{\theta}} \, dx = \sqrt{\theta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\theta} + 1} = \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1}.$

建立矩方程

令样本均值 $\overline{X}$ 估计 $E(X)$，即：
$\overline{X} = \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1}.$

解方程求 $\theta$

整理方程得：
$\overline{X} (\sqrt{\theta} + 1) = \sqrt{\theta} \implies \overline{X} = \sqrt{\theta} (1 - \overline{X}) \implies \sqrt{\theta} = \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}} \implies \theta = \left( \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}} \right)^2.$

最大似然估计量

构造似然函数

样本的似然函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i) = (\sqrt{\theta})^n \prod_{i=1}^n X_i^{\sqrt{\theta}-1}.$

取对数并简化

对数似然函数为：
$\ln L(\theta) = \frac{n}{2} \ln \theta + (\sqrt{\theta} - 1) \sum_{i=1}^n \ln X_i.$

求导并解方程

对 $\theta$ 求导并令导数为零：
$\frac{\partial}{\partial \theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{2\theta} + \frac{1}{2\sqrt{\theta}} \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0.$
整理得：
$\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\sqrt{\theta}} \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0 \implies \sqrt{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n (-\ln X_i)} \implies \theta = \left( \frac{n}{\sum_{i=1}^n (-\ln X_i)} \right)^2.$