题目
已知sim N(a,2a)，且sim N(a,2a)，则有（ ）A a = -3 , b = 9 B a = 3 , b = 9 C a = 3 , b = -9 D a = -3 , b = -9
已知
，且
，则有（ ）
A a = -3 , b = 9
B a = 3 , b = 9
C a = 3 , b = -9
D a = -3 , b = -9
题目解答
答案
∵
综上可以求得：a=3,b=-9
选择C
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
$X\sim N(a,2a)$表示随机变量$X$服从均值为$a$，方差为$2a$的正态分布。$Y=aX+b\sim N(0,54)$表示随机变量$Y$服从均值为$0$，方差为$54$的正态分布。
步骤 2：计算$Y$的均值
$Y=aX+b$的均值$E(Y)=aE(X)+b$。由于$X\sim N(a,2a)$，则$E(X)=a$。因此，$E(Y)=a\cdot a+b=a^2+b$。根据题意，$E(Y)=0$，所以$a^2+b=0$。
步骤 3：计算$Y$的方差
$Y=aX+b$的方差$D(Y)=a^2D(X)$。由于$X\sim N(a,2a)$，则$D(X)=2a$。因此，$D(Y)=a^2\cdot 2a=2a^3$。根据题意，$D(Y)=54$，所以$2a^3=54$。
步骤 4：求解$a$和$b$
从$2a^3=54$，解得$a^3=27$，从而$a=3$。将$a=3$代入$a^2+b=0$，解得$b=-9$。
$X\sim N(a,2a)$表示随机变量$X$服从均值为$a$，方差为$2a$的正态分布。$Y=aX+b\sim N(0,54)$表示随机变量$Y$服从均值为$0$，方差为$54$的正态分布。
步骤 2：计算$Y$的均值
$Y=aX+b$的均值$E(Y)=aE(X)+b$。由于$X\sim N(a,2a)$，则$E(X)=a$。因此，$E(Y)=a\cdot a+b=a^2+b$。根据题意，$E(Y)=0$，所以$a^2+b=0$。
步骤 3：计算$Y$的方差
$Y=aX+b$的方差$D(Y)=a^2D(X)$。由于$X\sim N(a,2a)$，则$D(X)=2a$。因此，$D(Y)=a^2\cdot 2a=2a^3$。根据题意，$D(Y)=54$，所以$2a^3=54$。
步骤 4：求解$a$和$b$
从$2a^3=54$，解得$a^3=27$，从而$a=3$。将$a=3$代入$a^2+b=0$，解得$b=-9$。