题目
3.设X1,X2,···,N16为来自总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的一个样本,试求统计量 U=-|||-dfrac (1)(16)sum _(i=1)^16|(X)_(i)-mu | 的期望与方差。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算期望
由于 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $X_i - \mu \sim N(0, \sigma^2)$。因此，$|X_i - \mu|$ 的期望值为 $\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$。这是因为 $|X_i - \mu|$ 的分布是半正态分布，其期望值为 $\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$。因此，统计量 $U$ 的期望值为：
$$
E(U) = E\left(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}|X_i - \mu|\right) = \frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} E(|X_i - \mu|) = \frac{1}{16} \times 16 \times \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}
$$
步骤 2：计算方差
$|X_i - \mu|$ 的方差为 $\sigma^2(1 - \frac{2}{\pi})$。因此，统计量 $U$ 的方差为：
$$
Var(U) = Var\left(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}|X_i - \mu|\right) = \frac{1}{16^2} \sum_{i=1}^{16} Var(|X_i - \mu|) = \frac{1}{16^2} \times 16 \times \sigma^2(1 - \frac{2}{\pi}) = \frac{\sigma^2}{16}(1 - \frac{2}{\pi})
$$
由于 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $X_i - \mu \sim N(0, \sigma^2)$。因此，$|X_i - \mu|$ 的期望值为 $\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$。这是因为 $|X_i - \mu|$ 的分布是半正态分布，其期望值为 $\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$。因此，统计量 $U$ 的期望值为：
$$
E(U) = E\left(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}|X_i - \mu|\right) = \frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} E(|X_i - \mu|) = \frac{1}{16} \times 16 \times \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}
$$
步骤 2：计算方差
$|X_i - \mu|$ 的方差为 $\sigma^2(1 - \frac{2}{\pi})$。因此，统计量 $U$ 的方差为：
$$
Var(U) = Var\left(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}|X_i - \mu|\right) = \frac{1}{16^2} \sum_{i=1}^{16} Var(|X_i - \mu|) = \frac{1}{16^2} \times 16 \times \sigma^2(1 - \frac{2}{\pi}) = \frac{\sigma^2}{16}(1 - \frac{2}{\pi})
$$