题目

设总体X的期望=mu 已知，方差=mu 未知，=mu 为其一个样本，则=mu 是统计星。（）A.正确B.错误

设总体X的期望 $EX=\mu$ 已知，方差 $DX=\sigma^2$ 未知， $X_1,\dots,X_n$ 为其一个样本，则 $\max(X_1,\dots,X_n)$ 是统计星。（）

A.正确

B.错误

题目解答

答案

统计量中只能是已知量，不能包含未知量，期望 $EX=\mu$ 已知，方差 $DX=\sigma^2$ 未知，样本 $X_1,\dots,X_n$ 已知，则包含未知量 $\sigma$ 的都不是统计量，则令 $Y=\max(X_1,\dots,X_n)$ ，则Y的分布函数为 $F\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(\max\left\{X_1,\cdots,X_n\right\}\le y\right)=P\left(X_1\le y,\cdots,X_n\le y\right)$ $=\prod_{i=1}^nP\left(X_i\le y\right)=\prod_{i=1}^nP\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\le\frac{y-\mu}{\sigma}\right)=Φ^n\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)$ ，则Y的概率密度函数为 $f\left(y\right)=F'\left(y\right)=\frac{d\left[Φ^n\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)\right]}{dy}=\frac{n}{\sigma}Φ^{n-1}\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)$ ，则 $\max(X_1,\dots,X_n)$ 不是统计星，因此选择B。

解析

统计量的定义是样本的函数，且不含任何未知参数。题目中，总体方差$\sigma^2$未知，而$\max(X_1, \cdots, X_n)$的表达式虽然仅依赖于样本数据，但其分布函数和概率密度函数的推导涉及未知参数$\sigma$。因此，$\max(X_1, \cdots, X_n)$的分布依赖于未知参数，无法作为统计量使用。

关键分析步骤

统计量的定义：统计量是样本的函数，且不能包含未知参数（如总体方差$\sigma^2$）。
$\max(X_1, \cdots, X_n)$的性质：
- 作为函数，$\max(X_1, \cdots, X_n)$仅依赖于样本数据，形式上是统计量。
- 但其分布函数推导中涉及$\sigma$（例如：$P\left(\frac{X_i - \mu}{\sigma} \leq \frac{y - \mu}{\sigma}\right)$），而$\sigma$是未知参数。
矛盾点：虽然$\max(X_1, \cdots, X_n)$本身不显含未知参数，但其分布依赖于未知参数，导致无法直接用作统计量。

结论

$\max(X_1, \cdots, X_n)$的分布依赖未知参数$\sigma$，因此不能作为统计量使用，答案为B.错误。