题目
一平面简谐波在介质中以速度v=20m/s自左向右传播，已知在传播路径上某点A的振动方程为y=3cos(4πt-π)，另一点D在A右方9m处。 (1)如图甲所示若取x轴方向向左，并以A点为坐标原点，试写出波动方程，并求出D点的振动方程。 (2)如图乙所示若取x轴方向向右，以A点左方5m处的O点为x轴原点，重新写出波动方程及D点的振动方程。 y↑-|||-v-|||-9m-|||-x-|||-A D-|||-甲
一平面简谐波在介质中以速度v=20m/s自左向右传播，已知在传播路径上某点A的振动方程为y=3cos(4πt-π)，另一点D在A右方9m处。
(1)如图甲所示若取x轴方向向左，并以A点为坐标原点，试写出波动方程，并求出D点的振动方程。
(2)如图乙所示若取x轴方向向右，以A点左方5m处的O点为x轴原点，重新写出波动方程及D点的振动方程。
题目解答
答案
解：(1)若取x轴方向向左，A为坐标原点，则波动方程为y=3cos[4π(t+$\frac{x}{v}$)-π]=3cos[4πt+$\frac{πx}{5}$-π]，
D(x=-9m)点的振动方程为yD=3cos[4πt+π$\frac{-9}{5}$-π]=3cos(4πt-$\frac{14π}{5}$)；
(2)若取x轴方向向右，A点左方5m处的O点为x轴原点，有A点坐标为x0=5m，D点坐标为x=14m，则波动方程为
y=3cos[4π(t-$\frac{x-5}{v}$)-π]=3cos(4πt-$\frac{πx}{5}$)，D点的振动方程为yD=3cos(4πt-π$\frac{14}{5}$)=3cos(4πt-$\frac{14π}{5}$)。
解析
步骤 1：确定波动方程
波动方程的一般形式为y=Acos(ωt±kx+φ)，其中A是振幅，ω是角频率，k是波数，φ是初相位。根据题目，A=3m，ω=4πrad/s，v=20m/s，因此k=ω/v=4π/20=π/5rad/m。由于波自左向右传播，所以波动方程为y=3cos(4πt-π/5x-π)。
步骤 2：求D点的振动方程
D点在A点右方9m处，因此D点的坐标为x=-9m（因为x轴方向向左）。将x=-9m代入波动方程，得到D点的振动方程为y_D=3cos(4πt-π/5*(-9)-π)=3cos(4πt+9π/5-π)=3cos(4πt+4π/5)。
步骤 3：重新确定波动方程
若取x轴方向向右，以A点左方5m处的O点为x轴原点，则A点的坐标为x_0=5m，D点的坐标为x=14m。波动方程为y=3cos(4πt-π/5(x-5)-π)=3cos(4πt-π/5x+π-π)=3cos(4πt-π/5x)。
步骤 4：求D点的振动方程
将x=14m代入波动方程，得到D点的振动方程为y_D=3cos(4πt-π/5*14)=3cos(4πt-14π/5)。
波动方程的一般形式为y=Acos(ωt±kx+φ)，其中A是振幅，ω是角频率，k是波数，φ是初相位。根据题目，A=3m，ω=4πrad/s，v=20m/s，因此k=ω/v=4π/20=π/5rad/m。由于波自左向右传播，所以波动方程为y=3cos(4πt-π/5x-π)。
步骤 2：求D点的振动方程
D点在A点右方9m处，因此D点的坐标为x=-9m（因为x轴方向向左）。将x=-9m代入波动方程，得到D点的振动方程为y_D=3cos(4πt-π/5*(-9)-π)=3cos(4πt+9π/5-π)=3cos(4πt+4π/5)。
步骤 3：重新确定波动方程
若取x轴方向向右，以A点左方5m处的O点为x轴原点，则A点的坐标为x_0=5m，D点的坐标为x=14m。波动方程为y=3cos(4πt-π/5(x-5)-π)=3cos(4πt-π/5x+π-π)=3cos(4πt-π/5x)。
步骤 4：求D点的振动方程
将x=14m代入波动方程，得到D点的振动方程为y_D=3cos(4πt-π/5*14)=3cos(4πt-14π/5)。