题目
[2008年] 设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则( ).A. P(Y=-2X-1)=1B. P(Y=2X-1)=1C. P(Y=-2X+1)=1D. P(Y=2X+1)=1
[2008年] 设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则( ).
A. P(Y=-2X-1)=1
B. P(Y=2X-1)=1
C. P(Y=-2X+1)=1
D. P(Y=2X+1)=1
题目解答
答案
D. P(Y=2X+1)=1
解析
步骤 1：理解随机变量的性质
随机变量X~N(0,1)表示X服从均值为0，方差为1的正态分布。随机变量Y~N(1,4)表示Y服从均值为1，方差为4的正态分布。相关系数ρXY=1表示X和Y完全正相关。
步骤 2：利用相关系数的性质
相关系数ρXY=1表示X和Y之间存在线性关系，即Y=aX+b，其中a和b是常数。由于ρXY=1，a的值为正，且a的绝对值等于Y的标准差除以X的标准差，即a=2。
步骤 3：确定线性关系的常数
由于X的均值为0，Y的均值为1，代入Y=aX+b，得到1=2*0+b，解得b=1。因此，Y=2X+1。
随机变量X~N(0,1)表示X服从均值为0，方差为1的正态分布。随机变量Y~N(1,4)表示Y服从均值为1，方差为4的正态分布。相关系数ρXY=1表示X和Y完全正相关。
步骤 2：利用相关系数的性质
相关系数ρXY=1表示X和Y之间存在线性关系，即Y=aX+b，其中a和b是常数。由于ρXY=1，a的值为正，且a的绝对值等于Y的标准差除以X的标准差，即a=2。
步骤 3：确定线性关系的常数
由于X的均值为0，Y的均值为1，代入Y=aX+b，得到1=2*0+b，解得b=1。因此，Y=2X+1。