题目

21. (4.0分) 设A，B均为n阶矩阵，已知A等价于B，则下列说法错误的是（） A |A|=0 longleftrightarrow |B|=0 B A可逆rightarrow B可逆 C 存在可逆矩阵P，使得PA=B D 存在可逆矩阵P,Q,使PAQ=B

21. (4.0分) 设A，B均为n阶矩阵，已知A等价于B，则下列说法错误的是（） A $|A|=0 \longleftrightarrow |B|=0$ B A可逆$\leftrightarrow$ B可逆 C 存在可逆矩阵P，使得PA=B D 存在可逆矩阵P,Q,使PAQ=B

题目解答

答案

矩阵等价的定义为：存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，使得 $PAQ = B$。
选项分析：
A. $|A| = 0 \iff |B| = 0$：等价矩阵秩相等，$n$ 阶方阵行列式为零当且仅当秩小于 $n$，故正确。
B. $A$ 可逆 $\iff$ $B$ 可逆：可逆矩阵秩为 $n$，等价矩阵秩相等，故正确。
C. 存在可逆矩阵 $P$，使得 $PA = B$：仅单侧变换无法保证等价，如 $A = I$，$B = 2I$ 时需 $P = 2I$，但一般情况不成立，错误。
D. 存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，使得 $PAQ = B$：符合等价定义，正确。

答案： $\boxed{C}$

解析

本题考查矩阵等价的定义及相关性质，解题思路是根据矩阵等价的定义和性质，对每个选项逐一进行分析判断。

  • 选项A：
    • 首先明确矩阵等价的性质，若矩阵$A$等价于矩阵$B$，则$r(A)=r(B)$（$r(A)$表示矩阵$A$的秩，$r(B)$表示矩阵$B$的秩）。
    • 对于$n$阶方阵$A$，根据行列式与秩的关系可知，$\vert A\vert = 0$的充要条件是$r(A)\lt n$；同理，对于$n$阶方阵$B$，$\vert B\vert = 0$的充要条件是$r(B)\lt n$。
    • 因为$r(A)=r(B)$，所以当$r(A)\lt n$时，必然有$r(B)\lt n$，即$\vert A\vert = 0$时，$\vert B\vert = 0$；反之，当$r(B)\lt n$时，必然有$r(A)\lt n$，即$\vert B\vert = 0$时，$\vert A\vert = 0$。所以$\vert A\vert = 0 \iff \vert B\vert = 0$，该选项正确。
  • 选项B：
    • 对于$n$阶方阵$A$，$A$可逆的充要条件是$r(A)=n$；对于$n$阶方阵$B$，$B$可逆的充要条件是$r(B)=n$。
    • 由于$A$等价于$B$，即$r(A)=r(B)$，那么当$r(A)=n$时，$r(B)=n$，所以$A$可逆时，$B$可逆；反之，当$r(B)=n$时，$r(A)=n$，所以$B$可逆时，$A$可逆。因此$A$可逆$\iff B$可逆，该选项正确。
  • 选项C：
    • 矩阵等价的定义是存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ = B$，仅通过单侧变换（即只存在可逆矩阵$P$，使得$PA = B$）无法保证矩阵$A$和$B$等价。
    • 例如，当$A = I$（$I$为$n$阶单位矩阵），$B = 2I$时，若存在可逆矩阵$P$使得$PA = B$，则$P\times I = 2I$，可得$P = 2I$，但这只是一种特殊情况。在一般情况下，仅通过左乘一个可逆矩阵$P$不能保证矩阵$A$和$B$等价，所以该选项错误。
  • 选项D：
    • 根据矩阵等价的定义，若矩阵$A$等价于矩阵$B$，则必然存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ = B$，该选项正确。