59.（判断题，1.0分）lim_(ntoinfty)((1)/(n^2)+(2)/(n^2)+...+(n)/(n^2))=lim_(ntoinfty)(1)/(n^2)+lim_(ntoinfty)(2)/(n^2)+...+lim_(ntoinfty)(n)/(n^2).A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查极限运算中极限与求和交换顺序的条件，以及无穷项求和的性质。

解题核心思路：

1. 判断等式两边是否相等：左边是先求和再取极限，右边是先对每个项取极限再求和。
2. 关键点在于：有限项的极限可以交换顺序，但无限项的极限交换需满足特定条件（如绝对收敛）。
3. 右边虽然每个项的极限为0，但无限个0相加的结果不一定是0，需结合具体求和方式分析。

左边计算

左边为：
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2}\right)$

1. 求和公式：分子为$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$，因此：
   $\text{和式} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{n^2 + n}{2n^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}$
2. 取极限：
   $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2}$

右边分析

右边为：
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2} + \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2} + \cdots + \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2}$

1. 每个项的极限：$\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n^2} = 0$（$k=1,2,\dots,n$）。
2. 求和问题：虽然每个项的极限为0，但项数随$n$趋于无穷，此时无限个0相加的结果不一定为0，需结合具体求和方式判断。
3. 本质矛盾：右边的求和实际上是$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n 0 = 0$，但左边为$\frac{1}{2}$，因此等式不成立。