题目
计算lim _(xarrow infty )((dfrac {x)(x-3))}^x。
计算
。
题目解答
答案
由题意得，极限为。
当
时，
，故该极限为
型。
故由重要极限
可得，
。
综上所述，
。
解析
步骤 1：确定极限类型
观察极限$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{x-3})}^{x}$，当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac {x}{x-3}\rightarrow 1$，因此该极限属于$1^{\infty}$型。
步骤 2：转换极限形式
将原极限转换为$e$的指数形式，即$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{x-3})}^{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x-3+3}{x-3})}^{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{x}$。
步骤 3：应用重要极限
利用重要极限$\lim _{x\rightarrow 0}{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}=e$，将$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{x}$转换为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{\dfrac {x-3}{3}\times \dfrac {3}{x-3}\times x}$，即$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{\dfrac {x-3}{3}\times \dfrac {3x}{x-3}}$。
步骤 4：计算极限
根据重要极限，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{\dfrac {x-3}{3}}=e$，因此$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{\dfrac {x-3}{3}\times \dfrac {3x}{x-3}}=e^{\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3x}{x-3}}$。计算$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3x}{x-3}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3}{1-\dfrac {3}{x}}=3$，因此$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{x-3})}^{x}=e^{3}$。
观察极限$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{x-3})}^{x}$，当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac {x}{x-3}\rightarrow 1$，因此该极限属于$1^{\infty}$型。
步骤 2：转换极限形式
将原极限转换为$e$的指数形式，即$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{x-3})}^{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x-3+3}{x-3})}^{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{x}$。
步骤 3：应用重要极限
利用重要极限$\lim _{x\rightarrow 0}{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}=e$，将$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{x}$转换为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{\dfrac {x-3}{3}\times \dfrac {3}{x-3}\times x}$，即$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{\dfrac {x-3}{3}\times \dfrac {3x}{x-3}}$。
步骤 4：计算极限
根据重要极限，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{\dfrac {x-3}{3}}=e$，因此$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {3}{x-3})}^{\dfrac {x-3}{3}\times \dfrac {3x}{x-3}}=e^{\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3x}{x-3}}$。计算$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3x}{x-3}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3}{1-\dfrac {3}{x}}=3$，因此$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x}{x-3})}^{x}=e^{3}$。