题目

若随机变量 X 的分布函数为 F (x)，则以下结论一定正确的是（）。A.P (a<X<b)=F (b)-F (a)；B.F (+∞)=0；C.P (X=a)=0；D.F (x) 是定义在 (-∞，+∞) 上的右连续函数。

若随机变量 X 的分布函数为 F (x)，则以下结论一定正确的是（）。

A.P (a<X<b)=F (b)-F (a)；

B.F (+∞)=0；

C.P (X=a)=0；

D.F (x) 是定义在 (-∞，+∞) 上的右连续函数。

题目解答

答案

1. 分析选项 A：

对于连续型随机变量，成立，但对于离散型随机变量，这个等式不一定成立，因为离散型随机变量的分布函数是阶梯状的，在某些点可能会有跳跃。所以选项 A 不一定正确。

2. 分析选项 B：

分布函数，而不是0。所以选项 B 错误。

3. 分析选项 C：

对于连续型随机变量，在某一具体点处的概率确实为0，即。因为连续型随机变量的概率是通过概率密度函数在一个区间上积分得到的，而在某一个具体点处的积分值为0。

对于离散型随机变量，如果随机变量在a处的概率为p，则，不一定为0。

 综合来看，选项 C 不一定正确。

4. 分析选项 D：

分布函数是定义在上的右连续函数，这是分布函数的基本性质之一。所以选项 D 正确。

综上所述，答案是 D。

解析

分布函数是概率论中描述随机变量的重要工具，其核心性质包括：

  1. 非减性：若 $x_1 < x_2$，则 $F(x_1) \leq F(x_2)$；
  2. 右连续性：$\lim_{h \to 0^+} F(x + h) = F(x)$；
  3. 极限性质：$F(-\infty) = 0$，$F(+\infty) = 1$；
  4. 概率计算：$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$。

关键点在于区分不同随机变量类型（连续型、离散型）对选项的影响，以及明确分布函数的基本性质。

选项A：$P(a < X < b) = F(b) - F(a)$

  • 连续型随机变量：成立，因为 $P(X = a) = 0$，此时 $P(a < X < b) = F(b) - F(a)$。
  • 离散型随机变量：不成立，因为 $F(b) - F(a)$ 包含 $P(a < X \leq b)$，而题目中 $P(a < X < b)$ 不包含 $X = b$ 的概率。
  • 结论：不一定正确。

选项B：$F(+\infty) = 0$

  • 根据分布函数的极限性质，$F(+\infty) = 1$，显然错误。

选项C：$P(X = a) = 0$

  • 连续型随机变量：成立，因为单点概率为0。
  • 离散型随机变量：若 $X$ 在 $a$ 处有概率质量，则 $P(X = a) \neq 0$。
  • 结论：不一定正确。

选项D：$F(x)$ 是定义在 $(-\infty, +\infty)$ 上的右连续函数

  • 基本性质：分布函数始终满足右连续性且定义在整个实数轴上。
  • 结论：一定正确。