12.设x1,x2,··· _(n),(x)_(n+1) 是来自N(μ,σ^2)的样本, _(n)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(x)_(i), ({S)_(n)}^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({x)_(i)-overline ({x)_(n)})}^2, 试求常-|||-数c使得 _(c)=cdfrac ({x)_(n+1)-overline ({x)_(n)}({S)_(n)} 服从t分布,并指出分布的自由度.

考查要点：本题主要考查t分布的构造条件，涉及正态分布样本的线性组合、样本均值与样本方差的性质，以及独立性判断。

解题核心思路：

1. 分子标准化：将$x_{n+1} - \overline{x}_n$标准化为标准正态变量$Z$；
2. 分母构造卡方变量：利用样本方差$s_n^2$构造自由度为$n-1$的卡方分布；
3. 独立性验证：确认分子与分母独立；
4. 系数匹配：通过调整常数$c$，使表达式符合$t$分布的标准形式。

破题关键点：

• 分子方差计算：$x_{n+1} - \overline{x}_n$的方差为$\sigma^2\left(1 + \frac{1}{n}\right)$；
• 样本方差的分布：$(n-1)s_n^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$；
• 系数推导：通过标准化后的分子与分母的比值，确定$c$的值。

步骤1：标准化分子

$x_{n+1} - \overline{x}_n$服从正态分布：
$x_{n+1} - \overline{x}_n \sim N\left(0, \sigma^2\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)$
标准化后得到标准正态变量：
$Z = \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{\sqrt{\sigma^2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}} = \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{\sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}}$

步骤2：构造分母的卡方变量

样本方差$s_n^2$满足：
$\frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
因此，分母可表示为：
$s_n = \sigma \sqrt{\frac{\chi^2(n-1)}{n-1}}$

步骤3：构造t分布形式

将$t_c$表达式代入$t$分布的标准形式：
$t_c = c \cdot \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{s_n} = c \cdot \frac{Z \cdot \sigma \sqrt{\frac{n+1}{n}}}{\sigma \sqrt{\frac{\chi^2(n-1)}{n-1}}}$
化简得：
$t_c = c \cdot \sqrt{\frac{n+1}{n}} \cdot \frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi^2(n-1)}{n-1}}}$
为使$t_c$服从$t$分布，需满足：
$c \cdot \sqrt{\frac{n+1}{n}} = 1 \quad \Rightarrow \quad c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}$

步骤4：确定自由度

分母的卡方变量自由度为$n-1$，因此$t_c$服从自由度为$n-1$的$t$分布。