作业1.12.下列数列(z_{n)}是否收敛?如果收敛，则求出它们的极限:(i)z_(n)=[1+((-1)^n)/(n)]e^(n|z_(n|)/(2)); (ii)z_(n)=((3+5i)^n)/(7^n).

(i) $z_n = \left[1 + \frac{(-1)^n}{n}\right] e^{\frac{n\pi i}{2}}$

1. 分析数列的组成部分

我们可以将数列 $z_n$ 看作两部分的乘积：

• 第一部分：$a_n = 1 + \frac{(-1)^n}{n}$
• 第二部分：$b_n = e^{\frac{n\pi i}{2}}$

2. 分析第一部分 $a_n$ 的极限

当 $n \to \infty$ 时，$\frac{(-1)^n}{n}$ 的绝对值 $\left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n} \to 0$。
因此，$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{(-1)^n}{n}\right) = 1$。

3. 分析第二部分 $b_n$ 的取值规律

利用欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，我们有：
$b_n = e^{\frac{n\pi i}{2}} = \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$

我们列出前几项 $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ 时 $b_n$ 的值：

• $n = 1: e^{\frac{\pi i}{2}} = i$
• $n = 2: e^{\pi i} = -1$
• $n = 3: e^{\frac{3\pi i}{2}} = -i$
• $n = 4: e^{2\pi i} = 1$
• $n = 5: e^{\frac{5\pi i}{2}} = i$ （开始循环）

可以看出，$b_n$ 是一个周期为 4 的数列，取值在 $\{i, -1, -i, 1\}$ 之间循环，它没有极限。

4. 综合判断 $z_n$ 的收敛性

由于 $a_n \to 1$ （一个非零常数），而 $b_n$ 在四个不同的值之间循环。那么 $z_n = a_n \cdot b_n$ 在 $n \to \infty$ 时，会分别趋近于 $1 \cdot i = i$，$1 \cdot (-1) = -1$，$1 \cdot (-i) = -i$，$1 \cdot 1 = 1$ 这四个不同的聚点（例如取子序列 $n = 4k+1, 4k+2, \dots$）。

因为数列存在多个不同的聚点，所以数列 $\{z_n\}$ 不收敛。

(ii) $z_n = \frac{(3 + 5i)^n}{7^n}$

1. 将数列化简

我们可以将 $z_n$ 写为：
$z_n = \left(\frac{3 + 5i}{7}\right)^n$

2. 计算底数的模长

令 $q = \frac{3 + 5i}{7}$，我们先求 $q$ 的模长：
$|q| = \frac{|3 + 5i|}{7} = \frac{\sqrt{3^2 + 5^2}}{7} = \frac{\sqrt{9 + 25}}{7} = \frac{\sqrt{34}}{7}$

3. 比较模长与 1 的大小

我们需要判断 $\frac{\sqrt{34}}{7}$ 是否小于 1：

• 因为 $\sqrt{34} < \sqrt{49} = 7$，所以 $|q| = \frac{\sqrt{34}}{7} < 1$。

4. 判断收敛性

对于复数等比数列 $z_n = q^n$，当 $|q| < 1$ 时，$\lim_{n \to \infty} |z_n| = \lim_{n \to \infty} |q|^n = 0$。
根据复数列的性质，如果模长趋于 0，则复数列本身趋于 0（即极限为 $0 + 0i$）。

因此，数列 $\{z_n\}$ 收敛，且极限为 $0$。

最终结论：

• (i) 数列 $z_n = \left[1 + \frac{(-1)^n}{n}\right] e^{\frac{n\pi i}{2}}$ 不收敛。
• (ii) 数列 $z_n = \frac{(3 + 5i)^n}{7^n}$ 收敛，极限为 $0$。