题目
求指导本题解题过程，谢谢您！九(10分)、设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成-|||-绩,算得平均成绩为66.5分,样本标准差为15分,问在显著性水平 =0.05 下,是-|||-否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?写出完整检验过程。-|||-(_(0.05)=1.645 , _(0.025)=1.96 , _(0.05)(35)=1.69 , _(0.025)(35)=2.03,-|||-_(0.05)(36)=1.688 , _(0.025)(36)=2.028 )
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：提出假设
设该次考试考生成绩为 $X$，则 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。从 $X$ 中随机抽取的36位考生的成绩，其样本均值记为 $\overline{X}$，样本标准差记为 $S$。样本容量为 $n=36$。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，检验假设：
$H_0: \mu = 70$，
$H_1: \mu \neq 70$。
步骤 2：选择检验统计量
由于总体方差未知，且样本容量较小（$n=36$），因此使用 $t$ 分布进行检验。检验统计量为：
$t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$，
其中 $\mu_0 = 70$，$\overline{X} = 66.5$，$S = 15$，$n = 36$。
步骤 3：计算检验统计量的值
将已知数据代入检验统计量公式，得：
$t = \frac{66.5 - 70}{15 / \sqrt{36}} = \frac{-3.5}{15 / 6} = \frac{-3.5}{2.5} = -1.4$。
步骤 4：确定临界值
在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，自由度 $df = n - 1 = 35$，查 $t$ 分布表得临界值 $t_{0.025}(35) = 2.03$。由于是双侧检验，临界值为 $\pm 2.03$。
步骤 5：做出决策
比较计算得到的检验统计量值 $t = -1.4$ 与临界值 $\pm 2.03$。由于 $-2.03 < -1.4 < 2.03$，检验统计量值落在接受域内，因此在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，不能拒绝原假设 $H_0$。
设该次考试考生成绩为 $X$，则 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。从 $X$ 中随机抽取的36位考生的成绩，其样本均值记为 $\overline{X}$，样本标准差记为 $S$。样本容量为 $n=36$。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，检验假设：
$H_0: \mu = 70$，
$H_1: \mu \neq 70$。
步骤 2：选择检验统计量
由于总体方差未知，且样本容量较小（$n=36$），因此使用 $t$ 分布进行检验。检验统计量为：
$t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$，
其中 $\mu_0 = 70$，$\overline{X} = 66.5$，$S = 15$，$n = 36$。
步骤 3：计算检验统计量的值
将已知数据代入检验统计量公式，得：
$t = \frac{66.5 - 70}{15 / \sqrt{36}} = \frac{-3.5}{15 / 6} = \frac{-3.5}{2.5} = -1.4$。
步骤 4：确定临界值
在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，自由度 $df = n - 1 = 35$，查 $t$ 分布表得临界值 $t_{0.025}(35) = 2.03$。由于是双侧检验，临界值为 $\pm 2.03$。
步骤 5：做出决策
比较计算得到的检验统计量值 $t = -1.4$ 与临界值 $\pm 2.03$。由于 $-2.03 < -1.4 < 2.03$，检验统计量值落在接受域内，因此在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，不能拒绝原假设 $H_0$。