9.设考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布，平均成绩(参数μ的值)为72分，已知成绩在96以上的人数占考生总数的2.28%.现任取100名考生的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求E(Y)，D(Y).

为了解决这个问题，我们需要使用正态分布的性质和二项分布的性质。让我们一步步来分析。 ### 第一步：确定标准差 $\sigma$ 已知考生的外语成绩 $X$ 服从正态分布 $N(72, \sigma^2)$，且成绩在96分以上的人数占考生总数的2.28%。这意味着 $P(X > 96) = 0.0228$。 首先，我们将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z$，其中 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。因此，我们有： \[P\left(Z > \frac{96 - 72}{\sigma}\right) = 0.0228.\] 从标准正态分布表中，我们知道 $P(Z > 2) = 0.0228$。因此，我们可以建立方程： \[\frac{96 - 72}{\sigma} = 2.\] 解 $\sigma$，我们得到： \[\frac{24}{\sigma} = 2 \implies \sigma = 12.\] 所以，正态分布是 $N(72, 144)$。 ### 第二步：计算成绩在60分至84分之间的概率 我们需要找到 $P(60 < X < 84)$。再次，我们将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z$： \[P\left(\frac{60 - 72}{12} < Z < \frac{84 - 72}{12}\right) = P(-1 < Z < 1).\] 从标准正态分布表中，我们知道： \[P(Z < 1) = 0.8413 \quad \text{和} \quad P(Z < -1) = 0.1587.\] 因此， \[P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826.\] 所以，成绩在60分至84分之间的概率是0.6826。 ### 第三步：确定 $Y$ 的期望值和方差 设 $Y$ 是100名随机选取的考生中成绩在60分至84分之间的人数。由于每个考生的成绩在60分至84分之间的概率是0.6826，$Y$ 服从二项分布 $B(100, 0.6826)$。 二项随机变量 $Y \sim B(n, p)$ 的期望值 $E(Y)$ 和方差 $D(Y)$ 分别由以下公式给出： \[E(Y) = np \quad \text{和} \quad D(Y) = np(1-p).\] 这里，$n = 100$ 和 $p = 0.6826$，所以： \[E(Y) = 100 \times 0.6826 = 68.26,\] \[D(Y) = 100 \times 0.6826 \times (1 - 0.6826) = 100 \times 0.6826 \times 0.3174 = 21.682644 \approx 21.74.\] 因此，期望值 $E(Y)$ 和方差 $D(Y)$ 分别为： \[\boxed{64.26 \text{ 和 } 21.74}.\]