5.7 一本书排版后一校时出现错误数X服从正态分布N(200，400)，试求：(1)出现错误数不超过230的概率。(2)出现错误数在190~210之间的概率。
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要使用正态分布的性质。正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。在这个问题中，均值 $\mu = 200$，方差 $\sigma^2 = 400$，所以标准差 $\sigma = \sqrt{400} = 20$。
(1) 出现错误数不超过230的概率
我们需要找到 $P(X \leq 230)$。首先，我们将 $X$ 标准化为标准正态变量 $Z$，使用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
对于 $X = 230$：
$Z = \frac{230 - 200}{20} = \frac{30}{20} = 1.5$
现在，我们需要找到 $P(Z \leq 1.5)$。使用标准正态分布表或计算器，我们发现：
$P(Z \leq 1.5) \approx 0.9332$
因此，出现错误数不超过230的概率是：
$\boxed{0.9332}$
(2) 出现错误数在190~210之间的概率
我们需要找到 $P(190 \leq X \leq 210)$。再次，我们将 $X$ 标准化为标准正态变量 $Z$。
对于 $X = 190$：
$Z = \frac{190 - 200}{20} = \frac{-10}{20} = -0.5$
对于 $X = 210$：
$Z = \frac{210 - 200}{20} = \frac{10}{20} = 0.5$
现在，我们需要找到 $P(-0.5 \leq Z \leq 0.5)$。这可以表示为：
$P(-0.5 \leq Z \leq 0.5) = P(Z \leq 0.5) - P(Z \leq -0.5)$
使用标准正态分布表或计算器，我们发现：
$P(Z \leq 0.5) \approx 0.6915$
$P(Z \leq -0.5) \approx 0.3085$
因此：
$P(-0.5 \leq Z \leq 0.5) = 0.6915 - 0.3085 = 0.3830$
因此，出现错误数在190~210之间的概率是：
$\boxed{0.3830}$
解析
本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先根据已知的正态分布确定均值和标准差，再将一般正态分布转化为标准正态分布，最后利用标准正态分布表或计算器来计算相应的概率。
已知一本书排版后一校时出现错误数$X$服从正态分布$N(200,400)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的性质，其中均值$\mu = 200$，方差$\sigma^{2}=400$，则标准差$\sigma=\sqrt{400} = 20$。
(1) 求出现错误数不超过$230$的概率
我们需要计算$P(X\leq230)$。
为了利用标准正态分布的性质，我们将$X$标准化为标准正态变量$Z$，标准化公式为$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$。
当$X = 230$时，代入公式可得：
$Z=\frac{230 - 200}{20}=\frac{30}{20}=1.5$
此时$P(X\leq230)$就转化为$P(Z\leq1.5)$。
通过查阅标准正态分布表或使用计算器，可得$P(Z\leq1.5)\approx0.9332$。
(2) 求出现错误数在$190\sim210$之间的概率
我们需要计算$P(190\leq X\leq210)$。
同样先将$X$标准化为标准正态变量$Z$。
当$X = 190$时，$Z=\frac{190 - 200}{20}=\frac{-10}{20}=-0.5$；
当$X = 210$时，$Z=\frac{210 - 200}{20}=\frac{10}{20}=0.5$。
那么$P(190\leq X\leq210)$就转化为$P(-0.5\leq Z\leq0.5)$。
根据概率的性质$P(-0.5\leq Z\leq0.5)=P(Z\leq0.5)-P(Z\leq - 0.5)$。
查阅标准正态分布表或使用计算器可得：
$P(Z\leq0.5)\approx0.6915$，$P(Z\leq - 0.5)\approx0.3085$。
所以$P(-0.5\leq Z\leq0.5)=0.6915 - 0.3085 = 0.3830$。