题目
二、填空题（共3题，75.0分）4.（填空题，30.0分）某参考书共有490页，平均每页有0.1个印刷错误，假设该书每页印刷错误的个数相互独立且服从泊松分布。利用中心极限定理近似计算，该书印刷错误总数超过70个的概率为多少？（注：Phi(1/7)=0.5568；Phi(3/7)=0.6659；Phi(0.7)=0.7580；Phi(3)=0.9987）
二、填空题（共3题，75.0分）
4.（填空题，30.0分）
某参考书共有490页，平均每页有0.1个印刷错误，假设该书每页印刷错误的个数相互独立且服从泊松分布。利用中心极限定理近似计算，该书印刷错误总数超过70个的概率为多少？
（注：$\Phi(1/7)=0.5568$；$\Phi(3/7)=0.6659$；$\Phi(0.7)=0.7580$；$\Phi(3)=0.9987$）
题目解答
答案
为了利用中心极限定理近似计算该书印刷错误总数超过70个的概率，我们可以按照以下步骤进行：
1. **确定每页印刷错误的分布：**
每页的印刷错误数 $X_i$ 服从参数为 $\lambda = 0.1$ 的泊松分布。因此，每页的平均印刷错误数为 $E(X_i) = 0.1$，每页的印刷错误数的方差为 $Var(X_i) = 0.1$。
2. **确定总印刷错误数的分布：**
设 $S$ 为该书的总印刷错误数。由于该书有490页，且每页的印刷错误数相互独立，$S$ 是490个独立同分布的泊松随机变量的和。根据泊松分布的可加性，$S$ 服从参数为 $\lambda_{\text{total}} = 490 \times 0.1 = 49$ 的泊松分布。因此，总印刷错误数的平均值为 $E(S) = 49$，总印刷错误数的方差为 $Var(S) = 49$。
3. **应用中心极限定理：**
由于 $S$ 是大量独立同分布随机变量的和，根据中心极限定理，$S$ 的分布可以近似为均值为49，方差为49的正态分布。即 $S \approx N(49, 49)$。
4. **标准化正态变量：**
我们需要找到 $P(S > 70)$。为了使用标准正态分布表，我们首先将 $S$ 标准化：
\[
Z = \frac{S - 49}{\sqrt{49}} = \frac{S - 49}{7}
\]
因此，
\[
P(S > 70) = P\left(Z > \frac{70 - 49}{7}\right) = P(Z > 3)
\]
5. **使用标准正态分布表：**
从标准正态分布表中，我们找到 $P(Z \leq 3) = \Phi(3) = 0.9987$。因此，
\[
P(Z > 3) = 1 - \Phi(3) = 1 - 0.9987 = 0.0013
\]
因此，该书印刷错误总数超过70个的概率为 $\boxed{0.0013}$。
解析
步骤 1：确定每页印刷错误的分布
每页的印刷错误数 $X_i$ 服从参数为 $\lambda = 0.1$ 的泊松分布。因此，每页的平均印刷错误数为 $E(X_i) = 0.1$，每页的印刷错误数的方差为 $Var(X_i) = 0.1$。
步骤 2：确定总印刷错误数的分布
设 $S$ 为该书的总印刷错误数。由于该书有490页，且每页的印刷错误数相互独立，$S$ 是490个独立同分布的泊松随机变量的和。根据泊松分布的可加性，$S$ 服从参数为 $\lambda_{\text{total}} = 490 \times 0.1 = 49$ 的泊松分布。因此，总印刷错误数的平均值为 $E(S) = 49$，总印刷错误数的方差为 $Var(S) = 49$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 $S$ 是大量独立同分布随机变量的和，根据中心极限定理，$S$ 的分布可以近似为均值为49，方差为49的正态分布。即 $S \approx N(49, 49)$。
步骤 4：标准化正态变量
我们需要找到 $P(S > 70)$。为了使用标准正态分布表，我们首先将 $S$ 标准化：
\[ Z = \frac{S - 49}{\sqrt{49}} = \frac{S - 49}{7} \]
因此，
\[ P(S > 70) = P\left(Z > \frac{70 - 49}{7}\right) = P(Z > 3) \]
步骤 5：使用标准正态分布表
从标准正态分布表中，我们找到 $P(Z \leq 3) = \Phi(3) = 0.9987$。因此，
\[ P(Z > 3) = 1 - \Phi(3) = 1 - 0.9987 = 0.0013 \]
每页的印刷错误数 $X_i$ 服从参数为 $\lambda = 0.1$ 的泊松分布。因此，每页的平均印刷错误数为 $E(X_i) = 0.1$，每页的印刷错误数的方差为 $Var(X_i) = 0.1$。
步骤 2：确定总印刷错误数的分布
设 $S$ 为该书的总印刷错误数。由于该书有490页，且每页的印刷错误数相互独立，$S$ 是490个独立同分布的泊松随机变量的和。根据泊松分布的可加性，$S$ 服从参数为 $\lambda_{\text{total}} = 490 \times 0.1 = 49$ 的泊松分布。因此，总印刷错误数的平均值为 $E(S) = 49$，总印刷错误数的方差为 $Var(S) = 49$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 $S$ 是大量独立同分布随机变量的和，根据中心极限定理，$S$ 的分布可以近似为均值为49，方差为49的正态分布。即 $S \approx N(49, 49)$。
步骤 4：标准化正态变量
我们需要找到 $P(S > 70)$。为了使用标准正态分布表，我们首先将 $S$ 标准化：
\[ Z = \frac{S - 49}{\sqrt{49}} = \frac{S - 49}{7} \]
因此，
\[ P(S > 70) = P\left(Z > \frac{70 - 49}{7}\right) = P(Z > 3) \]
步骤 5：使用标准正态分布表
从标准正态分布表中，我们找到 $P(Z \leq 3) = \Phi(3) = 0.9987$。因此，
\[ P(Z > 3) = 1 - \Phi(3) = 1 - 0.9987 = 0.0013 \]