已知函数(x)=asin x+dfrac (1)(4)sin 4x，则常数(x)=asin x+dfrac (1)(4)sin 4x为何值时，函数在(x)=asin x+dfrac (1)(4)sin 4x处取得极值?判断其是极大值还是极小值，并求出极值。

考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的方法，涉及一阶导数求极值必要条件和二阶导数判断极值类型的步骤。

解题核心思路：

1. 极值必要条件：函数在极值点处的一阶导数为零，由此建立方程求解参数$a$。
2. 极值类型判断：通过二阶导数的符号判断极值类型（极大或极小）。
3. 极值计算：将极值点代入原函数计算极值大小。

破题关键点：

• 正确求导：注意复合函数求导法则，特别是$\sin 4x$的导数。
• 代入特殊角值：如$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos \pi = -1$等。
• 符号判断：二阶导数的符号直接决定极值类型。

步骤1：求一阶导数并代入极值点

函数$f(x) = a \sin x + \frac{1}{4} \sin 4x$，求导得：
$f'(x) = a \cos x + \cos 4x$
根据极值必要条件$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$，代入$x = \frac{\pi}{4}$：
$a \cos \frac{\pi}{4} + \cos \pi = 0$
计算得：
$a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-1) = 0 \implies a = \sqrt{2}$

步骤2：求二阶导数判断极值类型

二阶导数为：
$f''(x) = -a \sin x - 4 \sin 4x$
代入$x = \frac{\pi}{4}$和$a = \sqrt{2}$：
$f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} \cdot \sin \frac{\pi}{4} - 4 \cdot \sin \pi = -\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = -1$
因$f''\left(\frac{\pi}{4}\right) < 0$，故$x = \frac{\pi}{4}$为极大值点。

步骤3：计算极值大小

将$x = \frac{\pi}{4}$代入原函数：
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cdot \sin \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} \cdot \sin \pi = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = 1$