盒子中装有标号为1，2，2的三只球，不放回随机取两次，每次取一球。用X与Y分别表示第一、二两次取到球的号数，求相关系数R(X,Y).

考查要点：本题主要考查相关系数的计算，涉及协方差、期望、方差等概念，以及不放回抽样的概率分布分析。

解题核心思路：

1. 明确变量关系：X和Y分别表示两次取球的号数，需列出所有可能的取法及其概率。
2. 计算期望与协方差：通过概率分布计算E(X)、E(Y)、E(XY)，进而求出协方差Cov(X,Y)。
3. 计算方差与相关系数：利用方差公式求σ_X和σ_Y，最终代入相关系数公式。

破题关键点：

• 正确列举所有可能的取法，注意不放回抽样导致的概率变化。
• 准确计算期望值，尤其是E(XY)。
• 注意方差与协方差的计算细节，避免符号错误。

步骤1：列出所有可能的取法及概率

• 第一次取1，第二次取2：概率为$\frac{1}{3}$，对应$(X,Y)=(1,2)$。
• 第一次取2，第二次取1：概率为$\frac{1}{3}$，对应$(X,Y)=(2,1)$。
• 第一次取2，第二次取2：概率为$\frac{1}{3}$，对应$(X,Y)=(2,2)$。

步骤2：计算期望值

• E(X)：
  $E(X) = 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
• E(Y)：
  $E(Y) = 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
• E(XY)：
  $E(XY) = (1 \cdot 2) \cdot \frac{1}{3} + (2 \cdot 1) \cdot \frac{1}{3} + (2 \cdot 2) \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

步骤3：计算协方差

$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = \frac{8}{3} - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = -\frac{1}{9}$

步骤4：计算方差

• σ_X²：
  $\sigma_X^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{1^2 + 2^2 + 2^2}{3} - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}$
• σ_Y²：
  $\sigma_Y^2 = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \frac{2^2 + 1^2 + 2^2}{3} - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}$

步骤5：计算相关系数

$R(X,Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{-\frac{1}{9}}{\sqrt{\frac{2}{9}} \cdot \sqrt{\frac{2}{9}}} = -\frac{1}{2}$