设随机变量 X 服从正态分布 N(mu, sigma^2), 其概率密度函数 f(x) 在 x = 1 处取得最大值 (1)/(sqrt(2pi))。则关于 x 的一元二次方程 x^2 + 2Xx + 1 = 0 有实根的概率为（ ）A. (3)/(2) - Phi(2)B. (1)/(2) - Phi(2)C. (1)/(2) - (1)/(2)Phi(2)D. (3)/(2) - (1)/(2)Phi(2)

本题考查正态分布的概率密度函数以及一元一元二次方程有实根的概率计算。解题思路如下：

1. 首先根据正态分布概率密度函数在$x = 1$处取得最大值，确定正态分布的参数$\mu$和$\sigma^2$。
2. 然后对于一元二次方程$x^2 + 2Xx + 1 = 0$，根据判别式$\Delta$与方程有实根的关系，得到关于随机变量$X$的不等式。
3. 最后将不等式转化为标准正态分布的形式，利用正态分布的性质计算方法求出有实根的概率。

下面进行详细的计算：

1. 已知随机变量$X$服从正态分布$μ, σ²)，其概率密度函数\(f(x)$在$x = 1$处取得最大值。根据正态分布的性质可知，正态分布概率密度函数的对称轴为$x = \mu$，所以$\mu = 1$。又因为概率密度函数在$x = 1$处取得最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$，根据正态分布的概率密度函数公式$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2)}{2\sigma2}}{2}}$，当$x = \mu$时，$f(x)$取得最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$，所以$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}=\frac{1}{\sqrt{}\sqrt{2\pi}}$，解得$\sigma = 1$。
2. 对于一元二次方程$x^2 + 2Xx + 1 = 0$，其判别式$\Delta = (2X)^2 - 4\times1\times1 = 4X^2 - 4$。当方程有实根时，$\Delta\geq0$，即$4X^2 - 4\geq0$，化简可得$X^2\geq1$。
3. 因为$μ, σ²)，所以\(\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0, 1)$，将$\mu = 1$，$\sigma = 1$代入可得$\frac{X - 1}{1}\sim N(0, 1)$。由$X^2\geq1$可得$X\geq1$或$X\leq - 1$，进一步转化为标准正态分布的形式：
   • $P(X\geq1)=P(\frac{X - 1}{1}\geq\frac{1 - 1}{1}) = P(Z\geq0)$，$P(X\leq 1)=PP(\frac{X - 1}{1}\leq\frac{1 - 1}{1}) = P(Z\leq0)$。
   • 又因为$P(X\geq1)+P(X\leq 1)=1$，且$P(X\geq1)=PPP(X\leq 1)$与$\Phi(2)$的关系。
   • $P(X\geq1)=P(Z\geq0)=\frac{1}{2}$，$P(X\leq 1)=P(Z\leq0)=\frac{1}{2}$，而$μ, σ²)中\(P(X\geq1 + 2\sigma)=P(\frac{X - \mu}{\sigma}\geq\frac{1 + 2\times1 - 1}{1}) = P(Z\geq2)=1 - \Phi(2)$。
   • 所以$P(X^2\geq1)=P(X\geq1)+P(X\leq 1)=P(X\geq1 + 2\sigma)+P(X\leq 1)=1 - \Phi(2)+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} - \Phi(2)$。