[题目]-|||-设 y=y(x) 由方程 {|)_(x=0)=} ()-|||-(A) dfrac (3)(2) (B) -dfrac (3)(2)-|||-(C)3 (D) -3

本题考查参数方程所确定函数的求导以及隐函数求导导。解题思路如下：

1. 首先，根据参数方程求导法则，对于参数方程$\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\end{cases}$，有$\frac{dy}{dx}=\frac{y^\prime(t)}{x^\prime(t)}$。所以我们需要分别求出$x(t)$和$y(t)$对$t$求导。
   2 对于$x(t)=\arctan t$，根据求导公式$(\arctan t)^\prime=\=\=\frac{1}{1 + t^2}$，可得$x^\prime(t)=\frac{1}{1 + t^2}$。
   3 对于$y(t)$，它是由方程$2y - ty^2 + e^t = 5$所确定的隐函数。我们对该方程两边同时关于$t$求导：
   • 根据求导的加法法则$(u+v+w)^\prime=u^\prime+^\prime+^\prime$，对$2y - ty^2 + e^t = 5$求导得$(2y)^\prime-(ty^2)^\prime+(e^t)^\prime=(5)^\prime$。
   • 因为$(2y)^\prime = 2y^\prime(t)$，$(e^t)^\prime = e^t$^\prime = e^t)，$(5)^\prime = 0$。
   • 对于$(ty^2)^\prime$，根据乘积求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = t$，\v = y^2)，则$(ty^2)^\prime = y^2 + 2ty\cdot t\cdot y\cdot y^\prime(t)$。
   • 所以$2y^\prime(t)-y^2 - 2ty\cdot t\cdot y\cdot y^\prime(t)+e^t = 0$。
   • 移项可得$2y^\prime(t)-2ty\cdot y^\prime(t)=y^2 - e^t$。
   • 提取公因式$y^\prime(t)$得$y^\prime(t)(2 - 2ty)=y^2 - e^t$。
   • 解得$y^\prime(t)=\frac{y^2 - e^t}{2(1 - ty)}$。
     4 然后，将$2)和(3)的结果代入\(\frac{dy}{dx}=\frac{y^\prime(t)}{x^\prime(t)}$，可得：
     $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{y^2 - e^t}{2(1 - ty)}}{\frac{1 + t^2}}=\frac{(y^2 - e^t)(1 + t^2)}{2(1 - ty)}$。
     5 最后，求$x = 0$时$t$和$y$的值：
   • 当$x = 0$时，由$x=\arctan t = 0$，可得$t = 0$。
     -将$t = 0$代入方程$2y - ty^2 + e^t = 5$，得到$2y+1 = 5$，移项可得$2y=4$，解得$y = 2$。
     -将$t = 0$，$y = 2$代入$\frac{|\frac{dy}{dx}|}$得：
     $\frac{dy}{dx}\big|_{x = 0}=\frac{(2 - e^0)(1 + 0^2)}{2(1 - 0\times2)}=\frac{(4 - 1)\times1}{2\times1}=\frac{3}{2}$