题目

设X1,X2,···,Yn是正态总体X1,X2,···,Yn的一个样本，则X1,X2,···,Yn.A.X1,X2,···,YnB.X1,X2,···,YnC.X1,X2,···,YnD.X1,X2,···,Yn

设 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 是正态总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的一个样本，则 $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2\sim\left(\ \ \ \right)$ .

A. $N(\mu,\sigma^2)$

B. $χ^2(n)$

C. $t(n)$

D. $N(0,1)$

题目解答

答案

来自总体的样本 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 相互独立且都服从正态总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的分布，则 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2),\frac{X_i-\mu}{\sigma}\sim N(0,1),\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2\simχ^2(1),i=1,\cdots,n$ ，则 $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2\simχ^2(n)$ ，因此选择B。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布样本的标准化及其平方和的分布规律，涉及卡方分布的定义与性质。

解题核心思路：

标准化处理：将正态变量标准化为标准正态变量。
平方和的分布：独立标准正态变量的平方和服从卡方分布，自由度为变量个数。

破题关键点：

明确样本中每个变量独立且服从正态分布。
标准化后得到独立的标准正态变量。
利用卡方分布的定义，确定平方和的自由度。

步骤1：标准化正态变量
已知样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立且服从 $N(\mu, \sigma^2)$，对每个 $X_i$ 进行标准化：
$Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0,1).$

步骤2：平方项的分布
对标准化后的变量平方：
$Z_i^2 = \left( \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(1).$
每个 $Z_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布。

步骤3：平方和的分布
将所有平方项相加：
$\sum_{i=1}^{n} Z_i^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^2.$
由于 $Z_i$ 相互独立，根据卡方分布的可加性，总和服从自由度为 $n$ 的卡方分布：
$\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(n).$