题目
0-19一平行板电容器的两板面积均为S的圆形金属板,接于一交流电源时,板上的电荷随时间变化q0- sina t.(1)试求电容器中的位移电流密度;(2)试证两板之间某点的磁感应强度为osat,其中r为由圆板中心线到该点的距离
0-19一平行板电容器的两板面积均为S的圆形金属板,接于一交流电源时,板上的电荷随时间变化
q0- sina t.(1)试求电容器中的位移电流密度;(2)试证两板之间某点的磁感应强度为
osat,其中r为由圆板中心线到该点的距离
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算位移电流密度
给定电荷随时间变化的表达式为 $q_0 = q_m \sin(\omega t)$，其中 $q_m$ 是电荷的最大值，$\omega$ 是角频率，$t$ 是时间。电容器的电荷密度 $D$ 可以表示为 $D = \frac{q_0}{S} = \frac{q_m}{S} \sin(\omega t)$。位移电流密度 $J_D$ 是电位移矢量 $D$ 对时间的导数，即 $J_D = \frac{dD}{dt} = \frac{q_m \omega}{S} \cos(\omega t)$。
步骤 2：计算磁感应强度
根据安培环路定理，对于一个圆形的环路，磁感应强度 $B$ 与位移电流密度 $J_D$ 之间的关系为 $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_D$，其中 $r$ 是环路的半径，$\mu_0$ 是真空磁导率，$I_D$ 是通过环路的位移电流。由于位移电流密度 $J_D$ 与环路的半径 $r$ 无关，因此 $I_D = J_D \cdot \pi r^2 = \frac{q_m \omega}{S} \cos(\omega t) \cdot \pi r^2$。将 $I_D$ 代入安培环路定理的公式中，得到 $B = \frac{\mu_0 q_m \omega r}{2S} \cos(\omega t)$。
给定电荷随时间变化的表达式为 $q_0 = q_m \sin(\omega t)$，其中 $q_m$ 是电荷的最大值，$\omega$ 是角频率，$t$ 是时间。电容器的电荷密度 $D$ 可以表示为 $D = \frac{q_0}{S} = \frac{q_m}{S} \sin(\omega t)$。位移电流密度 $J_D$ 是电位移矢量 $D$ 对时间的导数，即 $J_D = \frac{dD}{dt} = \frac{q_m \omega}{S} \cos(\omega t)$。
步骤 2：计算磁感应强度
根据安培环路定理，对于一个圆形的环路，磁感应强度 $B$ 与位移电流密度 $J_D$ 之间的关系为 $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_D$，其中 $r$ 是环路的半径，$\mu_0$ 是真空磁导率，$I_D$ 是通过环路的位移电流。由于位移电流密度 $J_D$ 与环路的半径 $r$ 无关，因此 $I_D = J_D \cdot \pi r^2 = \frac{q_m \omega}{S} \cos(\omega t) \cdot \pi r^2$。将 $I_D$ 代入安培环路定理的公式中，得到 $B = \frac{\mu_0 q_m \omega r}{2S} \cos(\omega t)$。