题目
10.曲线 =cos 2x 在 [ 0,dfrac (pi )(4)] 上与x轴、y轴所围成的面积 S=_
题目解答
答案
解析:根据定积分的几何意义,所求面积为 $S={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\cos 2xdx=\dfrac {1}{2}\sin 2x{|}_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}=\dfrac {1}{2}$
答案:1/2
答案:1/2
解析
步骤 1：确定积分区间
曲线 $y=\cos 2x$ 在 $[0, \dfrac{\pi}{4}]$ 上与x轴、y轴所围成的面积，即求该区间内函数 $y=\cos 2x$ 与x轴之间的面积。因此，积分区间为 $[0, \dfrac{\pi}{4}]$。
步骤 2：计算定积分
根据定积分的几何意义，所求面积为 $S={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\cos 2xdx$。为了计算这个定积分，我们首先需要找到 $\cos 2x$ 的原函数。由于 $\cos 2x$ 的导数是 $-2\sin 2x$，因此 $\cos 2x$ 的原函数是 $\dfrac{1}{2}\sin 2x$。所以，$S={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\cos 2xdx=\dfrac{1}{2}\sin 2x{|}_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}$。
步骤 3：计算定积分的值
将积分区间代入原函数，得到 $S=\dfrac{1}{2}\sin 2x{|}_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}=\dfrac{1}{2}(\sin 2\times\dfrac{\pi}{4}-\sin 2\times0)=\dfrac{1}{2}(\sin \dfrac{\pi}{2}-\sin 0)=\dfrac{1}{2}(1-0)=\dfrac{1}{2}$。
曲线 $y=\cos 2x$ 在 $[0, \dfrac{\pi}{4}]$ 上与x轴、y轴所围成的面积，即求该区间内函数 $y=\cos 2x$ 与x轴之间的面积。因此，积分区间为 $[0, \dfrac{\pi}{4}]$。
步骤 2：计算定积分
根据定积分的几何意义，所求面积为 $S={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\cos 2xdx$。为了计算这个定积分，我们首先需要找到 $\cos 2x$ 的原函数。由于 $\cos 2x$ 的导数是 $-2\sin 2x$，因此 $\cos 2x$ 的原函数是 $\dfrac{1}{2}\sin 2x$。所以，$S={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\cos 2xdx=\dfrac{1}{2}\sin 2x{|}_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}$。
步骤 3：计算定积分的值
将积分区间代入原函数，得到 $S=\dfrac{1}{2}\sin 2x{|}_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}=\dfrac{1}{2}(\sin 2\times\dfrac{\pi}{4}-\sin 2\times0)=\dfrac{1}{2}(\sin \dfrac{\pi}{2}-\sin 0)=\dfrac{1}{2}(1-0)=\dfrac{1}{2}$。