1.[填空题]观察(1)/(sqrt(n^2)+1)+(1)/(sqrt(n^2)+2)+...+(1)/(sqrt(n^2)+n)，并利用数列的放缩法，猜想当n→∞时，上述和趋近于____.

考查要点：本题主要考查数列的放缩法（夹逼定理）的应用，以及对和式极限的分析能力。

解题核心思路：

1. 确定每一项的上下界：观察到分母$\sqrt{n^2 + k}$随$k$增大而增大，因此每一项$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$随$k$增大而减小。
2. 构建和式的上下界：利用最小项和最大项对和式进行放缩，得到两个更易处理的表达式。
3. 计算上下界的极限：通过化简和取极限，验证上下界极限相同，从而应用夹逼定理确定原和式的极限。

破题关键点：

• 正确找到放缩的上下界，并确保放缩后的表达式可求极限。
• 灵活运用代数变形（如提取公因子$n$）简化极限计算。

考虑和式 $ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} $，分析如下：

步骤1：确定每一项的上下界

当$k$从$1$到$n$时，分母$\sqrt{n^2 + k}$随$k$增大而增大，因此：
$\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$

步骤2：构建和式的上下界

将不等式逐项相加，得到：
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \leq S_n \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$
即：
$\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \leq S_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}$

步骤3：计算上下界的极限

1. 下界极限：
   $\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} \xrightarrow{n \to \infty} 1$
2. 上界极限：
   $\frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} \xrightarrow{n \to \infty} 1$

步骤4：应用夹逼定理

由于上下界极限均为$1$，根据夹逼定理，原和式极限为：
$\lim_{n \to \infty} S_n = 1$