题目

设 A=(1,-1,0)，B=} 1 -2 3 C. 3^4D. 没有意义

设 $A=(1,-1,0)$，$B=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$，则 $(BA)^4=$ ()

A. $3^4 \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

B. $3^3 \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

C. $3^4$

D. 没有意义

题目解答

答案

设 $ A = (1, -1, 0) $，$ B = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} $，则 \[ BA = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 0 \end{pmatrix} \] 计算 $ (BA)^2 $： \[ (BA)^2 = (BA)(BA) = 3(BA) \] 由此得 \[ (BA)^4 = [(BA)^2]^2 = [3(BA)]^2 = 9(BA)^2 = 9 \cdot 3(BA) = 27(BA) = 3^3(BA) \] 故正确答案为 \[ \boxed{B} \]

解析

本题考查矩阵乘法以及矩阵幂的运算。解题思路是先根据矩阵乘法规则计算出 $BA$ 的结果，再通过矩阵幂的运算运算规则计算出 $(BA)^4$ 的结果。

  1. 计算 $BA$：
    根据矩阵乘法规则，若 $A$=(a{ij}){m\times n})，$B=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix}$，则 $BA=\begin{pmatrix} b_{1}a_{11} & b_{1}a_{12} \cdots b_{1}a_{1 n} \\ b_{2}a_{21} b_{2a_{22} \cdots b_{2}a_{2 n} \\ vdots \\ b_{n}a_{n1} b_{n1} b_{n}a_{n2} \cdots b_{n}a_{n n} \end{pmatrix}$。
    已知 $A=(1, -1, 0)$，$B=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrixmatrix}$，则 $BA = \begin{pmatrix} 1\times1 & 1\times(-1) & 1\times0 \\ -2\times1 & -2\times(-1) & -2\times0 \\ 3\times1 & 3\times(-1) & 3\times0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$。

  2. 计算 $(BA)^2$：
    根据矩阵幂的运算规则，$(BA)^2=(BA)(BA)$。
    设 $BA = C=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 &0 \\ 3 & -3 &0 \end{pmatrix}$，则 $C^2 = C\times C=\begin{pmatrix} 1 & -1 &0 \\ -2 & 2 &0 \\ 3 & -3 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 &0 \\ -2 & 2 &0 \\ 3 & -3 &0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times1+(-1)\times(-2) & 1\times(-1)+(-1)\times2 & 0 \\ -2\times1 + 2\times(-2) & -2\times(-1)+2\times2 & 0 \\ 3\times1+(-3)\times(-2) & 3\times(-1)+(-3)\times2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 0 \\ -6 & 6 & 0 \\ 9 & -9 & 0 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 0 \end{pmatrix} = 3(BA)$。

  3. 计算 $(BA)^4$：
    根据矩阵幂的运算规则 $(BA)^4 = [(BA)^2]^2$。
    由步骤 2 可知 $(BA)^2 = 3(BA)$，则 $(BA)^4 = [(BA)^2]^2 = [3(BA)]^2 = 9(3^2)(BA)^2 = 9(BA)^2$。
    再将 $(BA)^2 = 3(BA)$ ) 代入上式，可得 $9(BA)^2 = 9\times3(BA) = 27(BA) = 3^3\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$。