题目
8.(1)设X1,X2,···,Nn是来自概率密度为-|||-(x;theta )= { (1+beta ), 求β的-|||-最大似然估计值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求θ的最大似然估计
似然函数为 $L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=\prod _{i=1}^{n}\theta x_i^{\theta -1}=\theta ^n\prod _{i=1}^{n}x_i^{\theta -1}$。
对数似然函数为 $\ln L(\theta )=n\ln \theta +(\theta -1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_i$。
令 $\dfrac {d\ln L(\theta )}{d\theta }=\dfrac {n}{\theta }+\sum _{i=1}^{n}\ln x_i=0$，解得 $\theta =-\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}\ln x_i}$。
步骤 2：求U的最大似然估计
由于 $U=e^{-1/\theta }$，且 $U$ 关于 $\theta$ 是单调函数，根据最大似然估计的不变性，$U$ 的最大似然估计为 $\hat {U}=e^{-1/\hat {\theta }}$，其中 $\hat {\theta }=-\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}\ln x_i}$。
步骤 3：求 $\theta =P\{ X\gt 2\}$ 的最大似然估计
已知 $\mu$ 的最大似然估计为 $\hat {\mu }=\overline {x}$，而 $\theta =P\{ X\gt 2\} =1-P\{ X\leqslant 2\} =1-\Phi (2-\mu )$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布函数。由于 $\theta$ 关于 $\mu$ 是单调函数，根据最大似然估计的不变性，$\theta$ 的最大似然估计为 $\hat {\theta }=1-\Phi (2-\hat {\mu })=1-\Phi (2-\overline {x})$。
步骤 4：求 $\beta$ 的最大似然估计
由本章习题第3题知二项分布 $x\sim b(m,0)$ 的参数 $\theta$ 的最大似然估计为 $\hat {\theta }=\overline {x}/m$。由于 $\beta =3\theta -1$，根据最大似然估计的不变性，$\beta$ 的最大似然估计为 $\hat {\beta }=3\hat {\theta }-1=\dfrac {3\overline {x}}{m}-1$。
似然函数为 $L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=\prod _{i=1}^{n}\theta x_i^{\theta -1}=\theta ^n\prod _{i=1}^{n}x_i^{\theta -1}$。
对数似然函数为 $\ln L(\theta )=n\ln \theta +(\theta -1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_i$。
令 $\dfrac {d\ln L(\theta )}{d\theta }=\dfrac {n}{\theta }+\sum _{i=1}^{n}\ln x_i=0$，解得 $\theta =-\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}\ln x_i}$。
步骤 2：求U的最大似然估计
由于 $U=e^{-1/\theta }$，且 $U$ 关于 $\theta$ 是单调函数，根据最大似然估计的不变性，$U$ 的最大似然估计为 $\hat {U}=e^{-1/\hat {\theta }}$，其中 $\hat {\theta }=-\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}\ln x_i}$。
步骤 3：求 $\theta =P\{ X\gt 2\}$ 的最大似然估计
已知 $\mu$ 的最大似然估计为 $\hat {\mu }=\overline {x}$，而 $\theta =P\{ X\gt 2\} =1-P\{ X\leqslant 2\} =1-\Phi (2-\mu )$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布函数。由于 $\theta$ 关于 $\mu$ 是单调函数，根据最大似然估计的不变性，$\theta$ 的最大似然估计为 $\hat {\theta }=1-\Phi (2-\hat {\mu })=1-\Phi (2-\overline {x})$。
步骤 4：求 $\beta$ 的最大似然估计
由本章习题第3题知二项分布 $x\sim b(m,0)$ 的参数 $\theta$ 的最大似然估计为 $\hat {\theta }=\overline {x}/m$。由于 $\beta =3\theta -1$，根据最大似然估计的不变性，$\beta$ 的最大似然估计为 $\hat {\beta }=3\hat {\theta }-1=\dfrac {3\overline {x}}{m}-1$。