题目
设X_1,X_2,...,X_n,...为独立同分布的随机变量序列，且服从参数为theta(theta >0)的指数分布，记Phi(x)为标准正态分布函数，则(）。A. lim_(n to infty) P(sum_{i=1)^n X_i - ntheta)/(theta sqrt(n)) leq x} = Phi(x)B. lim_(n to infty) P(sum_{i=1)^n X_i - ntheta)/(sqrt(ntheta)) leq x} = Phi(x)C. lim_(n to infty) P(theta sum_{i=1)^n X_i - n)/(sqrt(n)) leq x} = Phi(x)D. lim_(n to infty) P(sum_{i=1)^n X_i - theta)/(sqrt(ntheta)) leq x} = Phi(x)
设$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$为独立同分布的随机变量序列，且服从参数为$\theta(\theta >0)$的指数分布，记$\Phi(x)$为标准正态分布函数，则(）。
A. $\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\theta}{\theta \sqrt{n}} \leq x\right\} = \Phi(x)$
B. $\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\theta}{\sqrt{n\theta}} \leq x\right\} = \Phi(x)$
C. $\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\theta \sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}} \leq x\right\} = \Phi(x)$
D. $\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - \theta}{\sqrt{n\theta}} \leq x\right\} = \Phi(x)$
题目解答
答案
A. $\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\theta}{\theta \sqrt{n}} \leq x\right\} = \Phi(x)$
解析
步骤 1：确定随机变量序列的分布和参数
给定随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布，且服从参数为 $\theta$ 的指数分布。指数分布的均值 $E(X_i) = \theta$，方差 $Var(X_i) = \theta^2$。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，对于独立同分布的随机变量序列，当 $n$ 充分大时，标准化和近似服从标准正态分布。标准化形式为： \[ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\theta}{\theta\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1). \] 即： \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\theta}{\theta\sqrt{n}} \leq x \right\} = \Phi(x). \]
步骤 3：验证选项
选项A符合该形式，其他选项均不满足。选项B中的分母是 $\sqrt{n\theta}$，选项C中的分子是 $\theta \sum_{i=1}^n X_i - n$，选项D中的分子是 $\sum_{i=1}^n X_i - \theta$，均不符合中心极限定理的标准化形式。
给定随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布，且服从参数为 $\theta$ 的指数分布。指数分布的均值 $E(X_i) = \theta$，方差 $Var(X_i) = \theta^2$。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，对于独立同分布的随机变量序列，当 $n$ 充分大时，标准化和近似服从标准正态分布。标准化形式为： \[ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\theta}{\theta\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1). \] 即： \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\theta}{\theta\sqrt{n}} \leq x \right\} = \Phi(x). \]
步骤 3：验证选项
选项A符合该形式，其他选项均不满足。选项B中的分母是 $\sqrt{n\theta}$，选项C中的分子是 $\theta \sum_{i=1}^n X_i - n$，选项D中的分子是 $\sum_{i=1}^n X_i - \theta$，均不符合中心极限定理的标准化形式。