题目

单选题（共20题，40.0分） 8. (2.0分) 极限lim_(xtoinfty) [4-3/x]的值等于: A. -∞ B. 0 C. 4 D. 3

单选题（共20题，40.0分） 8. (2.0分) 极限$\lim_{x\to\infty} [4-3/x]$的值等于:
A. -∞
B. 0
C. 4
D. 3

题目解答

答案

将表达式拆分并求极限： \[ \lim_{x \to \infty} \left[4 - \frac{3}{x}\right] = \lim_{x \to \infty} 4 - \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} = 4 - 0 = 4 \] 或者使用洛必达法则： \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4x - 3}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{1} = 4 \] 因此，答案为 $\boxed{C}$。

解析

本题考查函数极限的计算，核心在于理解当$x$趋向于无穷大时，分式$\frac{3}{x}$的极限值为0。解题的关键是将表达式拆分为常数项与分式项之差，分别求极限后相减。此外，也可以通过将原式改写为分式形式，利用洛必达法则求解。

方法一：直接拆分求极限

  1. 拆分表达式：
    原式可拆分为两部分：
    $\lim_{x \to \infty} \left[4 - \frac{3}{x}\right] = \lim_{x \to \infty} 4 - \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}$
    其中，$\lim_{x \to \infty} 4 = 4$，而$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} = 0$（因为分母趋向无穷大，分式整体趋向0）。

  2. 计算最终结果：
    将两部分结果相减：
    $4 - 0 = 4$

方法二：洛必达法则

  1. 改写表达式：
    将原式改写为分式形式：
    $\lim_{x \to \infty} \frac{4x - 3}{x}$
    此时分子和分母均趋向无穷大，属于$\frac{\infty}{\infty}$型不定式，可应用洛必达法则。

  2. 应用洛必达法则：
    对分子和分母分别求导：
    $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}(4x - 3)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{1} = 4$