题目
5.计算二重积分iintlimits_(D)x^2e^-y^(2)dxdy，其中D是由直线y=1，y=x，x=0所围成的闭区域.
5.计算二重积分$\iint\limits_{D}x^{2}e^{-y^{2}}dxdy$，其中D是由直线y=1，y=x，x=0所围成的闭区域.
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 表示为 $0 \leq y \leq 1$，$0 \leq x \leq y$，则二重积分变为：
\[
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} x^2 e^{-y^2} \, dx \, dy.
\]
先对 $x$ 积分：
\[
\int_{0}^{y} x^2 e^{-y^2} \, dx = e^{-y^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{y} = \frac{y^3 e^{-y^2}}{3}.
\]
再对 $y$ 积分，令 $u = -y^2$，则 $du = -2y \, dy$，积分上下限变为 $0$ 到 $-1$：
\[
\int_{0}^{1} \frac{y^3 e^{-y^2}}{3} \, dy = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} y^3 e^{-y^2} \, dy = \frac{1}{6} \int_{-1}^{0} u e^u \, du.
\]
分部积分得：
\[
\int_{-1}^{0} u e^u \, du = \left[ e^u (u - 1) \right]_{-1}^{0} = -1 + \frac{2}{e}.
\]
故原积分值为：
\[
\frac{1}{6} \left( -1 + \frac{2}{e} \right) = \boxed{\frac{1}{3e} - \frac{1}{6}}.
\]
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 由直线 $y=1$，$y=x$，$x=0$ 所围成，可以表示为 $0 \leq y \leq 1$，$0 \leq x \leq y$。
步骤 2：将二重积分表示为累次积分
根据积分区域 $D$，二重积分可以表示为： \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} x^2 e^{-y^2} \, dx \, dy. \]
步骤 3：先对 $x$ 积分
先对 $x$ 积分，得到： \[ \int_{0}^{y} x^2 e^{-y^2} \, dx = e^{-y^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{y} = \frac{y^3 e^{-y^2}}{3}. \]
步骤 4：再对 $y$ 积分
再对 $y$ 积分，令 $u = -y^2$，则 $du = -2y \, dy$，积分上下限变为 $0$ 到 $-1$： \[ \int_{0}^{1} \frac{y^3 e^{-y^2}}{3} \, dy = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} y^3 e^{-y^2} \, dy = \frac{1}{6} \int_{-1}^{0} u e^u \, du. \]
步骤 5：分部积分
分部积分得： \[ \int_{-1}^{0} u e^u \, du = \left[ e^u (u - 1) \right]_{-1}^{0} = -1 + \frac{2}{e}. \]
步骤 6：计算原积分值
故原积分值为： \[ \frac{1}{6} \left( -1 + \frac{2}{e} \right) = \frac{1}{3e} - \frac{1}{6}. \]
积分区域 $D$ 由直线 $y=1$，$y=x$，$x=0$ 所围成，可以表示为 $0 \leq y \leq 1$，$0 \leq x \leq y$。
步骤 2：将二重积分表示为累次积分
根据积分区域 $D$，二重积分可以表示为： \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} x^2 e^{-y^2} \, dx \, dy. \]
步骤 3：先对 $x$ 积分
先对 $x$ 积分，得到： \[ \int_{0}^{y} x^2 e^{-y^2} \, dx = e^{-y^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{y} = \frac{y^3 e^{-y^2}}{3}. \]
步骤 4：再对 $y$ 积分
再对 $y$ 积分，令 $u = -y^2$，则 $du = -2y \, dy$，积分上下限变为 $0$ 到 $-1$： \[ \int_{0}^{1} \frac{y^3 e^{-y^2}}{3} \, dy = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} y^3 e^{-y^2} \, dy = \frac{1}{6} \int_{-1}^{0} u e^u \, du. \]
步骤 5：分部积分
分部积分得： \[ \int_{-1}^{0} u e^u \, du = \left[ e^u (u - 1) \right]_{-1}^{0} = -1 + \frac{2}{e}. \]
步骤 6：计算原积分值
故原积分值为： \[ \frac{1}{6} \left( -1 + \frac{2}{e} \right) = \frac{1}{3e} - \frac{1}{6}. \]