题目
设为取自总体的一个样本，求
设
为取自总体
的一个样本，求
题目解答
答案
由于
独立同分布于
得
构造
，则
得
，依题意
则得
可得
由本题题意
由
分布规律可知
查阅分布表可得
，
即
综上得到
解析
步骤 1：构造随机变量
构造随机变量$Z=\dfrac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}\sigma}$，则$Z\sim N(0,1)$，因为$X_1$和$X_2$独立同分布于$N(0,\sigma^2)$，所以$X_1+X_2$的分布为$N(0,2\sigma^2)$，从而$Z$的分布为标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 2：计算$Z^2$的分布
由于$Z\sim N(0,1)$，则$Z^2\sim \chi^2(1)$，即$Z^2$服从自由度为1的卡方分布。
步骤 3：计算$\dfrac{{X}_{3}}{\sigma}$的分布
由于$X_3\sim N(0,\sigma^2)$，则$\dfrac{{X}_{3}}{\sigma}\sim N(0,1)$，从而$\left(\dfrac{{X}_{3}}{\sigma}\right)^2\sim \chi^2(1)$，即$\left(\dfrac{{X}_{3}}{\sigma}\right)^2$服从自由度为1的卡方分布。
步骤 4：计算$F$分布
由题意，${(\dfrac{{X}_{1}}{{X}_{3}}+\dfrac{{X}_{2}}{{X}_{3}})}^{2}=\dfrac{{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{{{X}_{3}}^{2}}$，则$\dfrac{\dfrac{{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{{(\sqrt{2}\sigma)}^{2}}}{\dfrac{{X}_{3}^{2}}{{\sigma}^{2}}}\sim F(1,1)$，即$\dfrac{\dfrac{{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{{(\sqrt{2}\sigma)}^{2}}}{\dfrac{{X}_{3}^{2}}{{\sigma}^{2}}}$服从自由度为$(1,1)$的$F$分布。
步骤 5：计算概率
由题意，${(\dfrac{{X}_{1}}{{X}_{3}}+\dfrac{{X}_{2}}{{X}_{3}})}^{2}\geqslant 79.72$，则$\dfrac{\dfrac{{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{{(\sqrt{2}\sigma)}^{2}}}{\dfrac{{X}_{3}^{2}}{{\sigma}^{2}}}\geqslant \dfrac{79.72}{2}=39.86$，查阅$F$分布表，$F(1,1)$的0.10分位数为39.86，即$P\{F(1,1)\gt 39.86\}=0.10$。
构造随机变量$Z=\dfrac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}\sigma}$，则$Z\sim N(0,1)$，因为$X_1$和$X_2$独立同分布于$N(0,\sigma^2)$，所以$X_1+X_2$的分布为$N(0,2\sigma^2)$，从而$Z$的分布为标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 2：计算$Z^2$的分布
由于$Z\sim N(0,1)$，则$Z^2\sim \chi^2(1)$，即$Z^2$服从自由度为1的卡方分布。
步骤 3：计算$\dfrac{{X}_{3}}{\sigma}$的分布
由于$X_3\sim N(0,\sigma^2)$，则$\dfrac{{X}_{3}}{\sigma}\sim N(0,1)$，从而$\left(\dfrac{{X}_{3}}{\sigma}\right)^2\sim \chi^2(1)$，即$\left(\dfrac{{X}_{3}}{\sigma}\right)^2$服从自由度为1的卡方分布。
步骤 4：计算$F$分布
由题意，${(\dfrac{{X}_{1}}{{X}_{3}}+\dfrac{{X}_{2}}{{X}_{3}})}^{2}=\dfrac{{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{{{X}_{3}}^{2}}$，则$\dfrac{\dfrac{{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{{(\sqrt{2}\sigma)}^{2}}}{\dfrac{{X}_{3}^{2}}{{\sigma}^{2}}}\sim F(1,1)$，即$\dfrac{\dfrac{{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{{(\sqrt{2}\sigma)}^{2}}}{\dfrac{{X}_{3}^{2}}{{\sigma}^{2}}}$服从自由度为$(1,1)$的$F$分布。
步骤 5：计算概率
由题意，${(\dfrac{{X}_{1}}{{X}_{3}}+\dfrac{{X}_{2}}{{X}_{3}})}^{2}\geqslant 79.72$，则$\dfrac{\dfrac{{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{{(\sqrt{2}\sigma)}^{2}}}{\dfrac{{X}_{3}^{2}}{{\sigma}^{2}}}\geqslant \dfrac{79.72}{2}=39.86$，查阅$F$分布表，$F(1,1)$的0.10分位数为39.86，即$P\{F(1,1)\gt 39.86\}=0.10$。