(12)在总体N(7.6,4)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于0.95，则n至少为多少?

考查要点：本题主要考查正态分布下样本均值的分布性质、标准化方法以及利用标准正态分布表求解样本容量。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：根据正态总体的性质，样本均值服从$N\left(7.6, \frac{4}{n}\right)$。
2. 标准化处理：将样本均值的区间$(5.6, 9.6)$转化为标准正态变量$Z$的范围。
3. 利用置信水平确定临界值：通过$P(-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}) = 0.95$，找到对应的$z_{0.025} = 1.96$。
4. 解不等式求最小样本量：通过$\sqrt{n} \geq 1.96$，计算$n$的最小整数值。

破题关键点：

• 正确标准化：注意样本均值的标准差为$\frac{2}{\sqrt{n}}$。
• 理解置信区间与临界值关系：双侧$95\%$置信区间对应$z_{0.025} = 1.96$。

步骤1：确定样本均值的分布

总体服从$N(7.6, 4)$，即均值$\mu = 7.6$，方差$\sigma^2 = 4$，标准差$\sigma = 2$。
样本均值$\overline{X}$的分布为：
$\overline{X} \sim N\left(7.6, \frac{4}{n}\right)$

步骤2：标准化区间$(5.6, 9.6)$

将$\overline{X}$标准化为标准正态变量$Z$：
$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 7.6}{2 / \sqrt{n}}$
代入区间端点：

• 当$\overline{X} = 5.6$时，$Z = \frac{5.6 - 7.6}{2 / \sqrt{n}} = -\sqrt{n}$
• 当$\overline{X} = 9.6$时，$Z = \frac{9.6 - 7.6}{2 / \sqrt{n}} = \sqrt{n}$

因此，概率转化为：
$P(-\sqrt{n} < Z < \sqrt{n}) \geq 0.95$

步骤3：确定临界值并求解$n$

对于双侧$95\%$置信区间，标准正态分布的临界值为$z_{0.025} = 1.96$，即：
$\sqrt{n} \geq 1.96 \implies n \geq (1.96)^2 = 3.8416$
取整数得$n \geq 4$。