题目
设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计，在一年中因交通事故死亡两人的概率是死亡一人的概率的两倍，则该地每年因交通事故死亡的平均人数为______人
设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计，在一年中因交通事故死亡两人的概率是死亡一人的概率的两倍，则该地每年因交通事故死亡的平均人数为______人
题目解答
答案
某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计，在一年中因交通事故死亡两人的概率是死亡一人的概率的两倍。
在泊松分布中：设随机变量
所有可能的取值为
，则取各个值的概率为：
故设随机变量为每年因交通事故死亡的人数，服从泊松分布。
故:
在一年中因交通事故死亡两人的概率是死亡一人的概率的两倍.因此可以列出：
根据泊松分布期望的性质：
。
因此平均死亡人数为四人。
故：设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计，在一年中因交通事故死亡两人的概率是死亡一人的概率的两倍，则该地每年因交通事故死亡的平均人数为
人。
解析
步骤 1：定义泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间内发生某事件的次数。泊松分布的概率质量函数为：$P\{ X=k\} =\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中$\lambda$是事件发生的平均次数，$k$是事件发生的次数。
步骤 2：根据题目条件列出方程
根据题目条件，一年中因交通事故死亡两人的概率是死亡一人的概率的两倍。因此，可以列出方程：$P\{ X=2\} =2P\{ X=1\}$。将泊松分布的概率质量函数代入，得到：$\dfrac {{\lambda }^{2}{e}^{-\lambda }}{2!}=2\lambda {e}^{-\lambda }$。
步骤 3：解方程求解$\lambda$
化简方程：$\dfrac {{\lambda }^{2}{e}^{-\lambda }}{2}=2\lambda {e}^{-\lambda }$，得到：${\lambda }^{2}{e}^{-\lambda }=4\lambda {e}^{-\lambda }$。进一步化简得到：$\lambda {e}^{-\lambda }(4-\lambda )=0$。由于${e}^{-\lambda }$不为0，因此可以得到：$\lambda =4$。
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间内发生某事件的次数。泊松分布的概率质量函数为：$P\{ X=k\} =\dfrac {{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中$\lambda$是事件发生的平均次数，$k$是事件发生的次数。
步骤 2：根据题目条件列出方程
根据题目条件，一年中因交通事故死亡两人的概率是死亡一人的概率的两倍。因此，可以列出方程：$P\{ X=2\} =2P\{ X=1\}$。将泊松分布的概率质量函数代入，得到：$\dfrac {{\lambda }^{2}{e}^{-\lambda }}{2!}=2\lambda {e}^{-\lambda }$。
步骤 3：解方程求解$\lambda$
化简方程：$\dfrac {{\lambda }^{2}{e}^{-\lambda }}{2}=2\lambda {e}^{-\lambda }$，得到：${\lambda }^{2}{e}^{-\lambda }=4\lambda {e}^{-\lambda }$。进一步化简得到：$\lambda {e}^{-\lambda }(4-\lambda )=0$。由于${e}^{-\lambda }$不为0，因此可以得到：$\lambda =4$。