题目
5.8 根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机抽取16只,假设它们的寿命相互独立. 求这16只元件寿命的总和大于1920小时的概率.
5.8 根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机抽取16只,假设它们的寿命相互独立. 求这16只元件寿命的总和大于1920小时的概率.
题目解答
答案
解：以Xi表示第i只元件的寿命，则E(Xi) = 100, D(Xi) = 1002, i = 1, · · · , 16.令Y 表示16只元件的寿命总和，则Y =∑16Xi, E(Y ) = 16 · 100 = 1600, D(Y ) = 16 · 1002 = 4002,i=1由中心极限定理知，Y·∼ N(1600, 4002).)(1920 − 1600P{Y > 1920} = 1 − P{Y ≤ 1920} ≃ 1 − Φ400= 0.2119.
解析
步骤 1：确定单个元件寿命的分布参数
根据题意，单个元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。指数分布的概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中λ是分布的参数。由于均值E(X) = 1/λ = 100，可以求得λ = 1/100。
步骤 2：计算16个元件寿命总和的期望和方差
设Y表示16个元件寿命的总和，即Y = X1 + X2 + ... + X16，其中Xi表示第i个元件的寿命。由于每个元件的寿命相互独立，且均服从均值为100小时的指数分布，因此E(Y) = 16 * E(Xi) = 16 * 100 = 1600小时。方差D(Y) = 16 * D(Xi) = 16 * (1/λ^2) = 16 * 100^2 = 160000小时^2。
步骤 3：应用中心极限定理
由于Y是16个独立同分布随机变量的和，根据中心极限定理，当样本量足够大时，Y的分布近似于正态分布。因此，Y∼N(1600, 160000)。为了计算Y大于1920小时的概率，需要将Y标准化为标准正态分布，即Z = (Y - E(Y)) / √D(Y) = (Y - 1600) / 400。因此，P(Y > 1920) = P(Z > (1920 - 1600) / 400) = P(Z > 0.8)。
步骤 4：查标准正态分布表
查标准正态分布表，可以得到P(Z > 0.8) = 1 - Φ(0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119。
根据题意，单个元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。指数分布的概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中λ是分布的参数。由于均值E(X) = 1/λ = 100，可以求得λ = 1/100。
步骤 2：计算16个元件寿命总和的期望和方差
设Y表示16个元件寿命的总和，即Y = X1 + X2 + ... + X16，其中Xi表示第i个元件的寿命。由于每个元件的寿命相互独立，且均服从均值为100小时的指数分布，因此E(Y) = 16 * E(Xi) = 16 * 100 = 1600小时。方差D(Y) = 16 * D(Xi) = 16 * (1/λ^2) = 16 * 100^2 = 160000小时^2。
步骤 3：应用中心极限定理
由于Y是16个独立同分布随机变量的和，根据中心极限定理，当样本量足够大时，Y的分布近似于正态分布。因此，Y∼N(1600, 160000)。为了计算Y大于1920小时的概率，需要将Y标准化为标准正态分布，即Z = (Y - E(Y)) / √D(Y) = (Y - 1600) / 400。因此，P(Y > 1920) = P(Z > (1920 - 1600) / 400) = P(Z > 0.8)。
步骤 4：查标准正态分布表
查标准正态分布表，可以得到P(Z > 0.8) = 1 - Φ(0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119。