设总体 X sim B(1, p)，其中是 p 未知参数，X_1, ..., X_6 是总体的样本.若样本观测值为1，1，0，1，0。则 p 的最大似然估计值____。A. (3)/(5)B. (2)/(5)C. (4)/(5)D. (1)/(5)

步骤 1：定义似然函数
似然函数 $L(p)$ 是参数 $p$ 的函数，它表示在给定样本观测值的情况下，参数 $p$ 的可能性。对于二项分布 $B(1, p)$，似然函数为 $L(p) = p^x(1-p)^{1-x}$，其中 $x$ 是样本观测值。对于给定的样本观测值1，1，0，1，0，似然函数为 $L(p) = p^3(1-p)^2$。

步骤 2：对数似然函数
为了简化计算，我们通常对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(p) = 3\ln p + 2\ln(1-p)$。

步骤 3：求导并令其为零
为了找到对数似然函数的最大值，我们对 $\ln L(p)$ 求导，并令导数等于零。求导得到 $\frac{d\ln L(p)}{dp} = \frac{3}{p} - \frac{2}{1-p}$。令导数等于零，得到 $\frac{3}{p} - \frac{2}{1-p} = 0$。解这个方程，得到 $p = \frac{3}{5}$。

步骤 4：验证解
为了验证 $p = \frac{3}{5}$ 是对数似然函数的最大值，我们可以检查二阶导数 $\frac{d^2\ln L(p)}{dp^2} = -\frac{3}{p^2} - \frac{2}{(1-p)^2}$。当 $p = \frac{3}{5}$ 时，二阶导数为负，说明 $p = \frac{3}{5}$ 是对数似然函数的最大值。

步骤 5：计算样本均值
样本均值 $\bar{X} = \frac{1+1+0+1+0}{5} = \frac{3}{5}$。样本均值即为 $p$ 的最大似然估计值。