题目
5.设总体Xsim N(mu,100^2)，x_(1),x_(2),...,x_(100)是取自X的样本观测值，样本均值overline(x)=500，则总体均值mu的置信水平为95%的置信区间为_____.(Phi(1.96)=0.975，Phi(1.64)=0.95，Phi(1.28)=0.90)
5.设总体$X\sim N(\mu,100^{2})$，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{100}$是取自X的样本观测值，样本均值$\overline{x}=500$，则总体均值$\mu$的置信水平为95%的置信区间为_____.($\Phi(1.96)=0.975$，$\Phi(1.64)=0.95$，$\Phi(1.28)=0.90$)
题目解答
答案
已知总体 $X \sim N(\mu, 100^2)$，样本均值 $\overline{x} = 500$，样本大小 $n = 100$，标准差 $\sigma = 100$。对于95%置信水平，双侧分位数 $z_{0.025} = 1.96$。
置信区间计算公式为：
\[
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
代入数值：
\[
500 \pm 1.96 \times \frac{100}{\sqrt{100}} = 500 \pm 19.6
\]
结果为：
\[
(480.4, 519.6)
\]
**答案：**
\[
\boxed{(480.4, 519.6)}
\]
解析
本题考查正态总体均值的置信区间的计算。解题思路如下：
- 首先明确已知条件：总体$X\sim N(\mu,100^{2})$，这表明总体服从正态分布，其中总体均值为$\mu$，总体标准差$\sigma = 100$；样本观测值个数$n = 100$，样本均值$\overline{x}=500$；置信水平为$95\%$，即$1 - \alpha=0.95$，由此可算出$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
- 然后确定分位数：因为是双侧置信区间，所以需要查找$z_{\alpha/2}$的值。已知$\alpha = 0.05$，则$\alpha/2=0.025$。又已知$\Phi(1.96)=0.975$，根据标准正态分布的性质$z_{\alpha/2}$满足$P\{Z\lt z_{\alpha/2}\}=1 - \alpha/2$，这里$1-\alpha/2 = 0.975$，所以$z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。
- 最后根据正态总体均值的置信区间公式$\overline{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$来计算置信区间：
- 计算$z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$的值，将$z_{\alpha/2}=1.96$，$\sigma = 100$，$n = 100$代入可得：
$z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1.96\times\frac{100}{\sqrt{100}}$
因为$\sqrt{100} = 10$，所以$1.96\times\frac{100}{\sqrt{100}}=1.96\times\frac{100}{10}=1.96\times10 = 19.6$。 - 计算置信区间的下限：$\overline{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=500 - 19.6 = 480.4$。
- 计算置信区间的上限：$\overline{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=500 + 19.6 = 519.6$。
- 计算$z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$的值，将$z_{\alpha/2}=1.96$，$\sigma = 100$，$n = 100$代入可得：