题目
设随机变量X服从正态分布N(5,4)，其概率密度函数N(5,4)（1）这里常数a与b之和a+b=______（2）取N(5,4)则N(5,4)=______（3）随机变量1-2X服从的分布是N(____,____)
设随机变量X服从正态分布
，其概率密度函数
（1）这里常数a与b之和a+b=______
（2）取
则
=______
（3）随机变量1-2X服从的分布是N(____,____)
题目解答
答案
（1）若
则
在本题中，a=5,b=2，∴a+b=5+2=7
（2）∵
，∴
（3）
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
根据题目中给出的正态分布$N(5,4)$，可以知道均值$\mu=5$，方差$\sigma^2=4$，因此标准差$\sigma=2$。在概率密度函数$f(x)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-a)}^{2}}{2{b}^{2}}}$中，$a$对应于均值$\mu$，$b$对应于标准差$\sigma$。因此，$a=5$，$b=2$。
步骤 2：计算a+b的值
根据步骤1中确定的$a$和$b$的值，计算$a+b=5+2=7$。
步骤 3：计算$P(1\lt X\leqslant 7)$
由于$X\sim N(5,4)$，则$\dfrac{X-5}{2}\sim N(0,1)$。因此，$P(1\lt X\leqslant 7)=P(-2\lt \dfrac{X-5}{2}\leqslant 1)$。根据题目中给出的$\Phi(1)=0.8413$，$\Phi(2)=0.9972$，$\Phi(3)=0.9987$，可以计算$P(1\lt X\leqslant 7)=\Phi(1)-\Phi(-2)=\Phi(1)-[1-\Phi(2)]=0.8413-(1-0.9972)=0.8385$。
步骤 4：确定1-2X的分布
由于$X\sim N(5,4)$，则$-2X\sim N(-10,16)$，因此$1-2X\sim N(-9,16)$。
根据题目中给出的正态分布$N(5,4)$，可以知道均值$\mu=5$，方差$\sigma^2=4$，因此标准差$\sigma=2$。在概率密度函数$f(x)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-a)}^{2}}{2{b}^{2}}}$中，$a$对应于均值$\mu$，$b$对应于标准差$\sigma$。因此，$a=5$，$b=2$。
步骤 2：计算a+b的值
根据步骤1中确定的$a$和$b$的值，计算$a+b=5+2=7$。
步骤 3：计算$P(1\lt X\leqslant 7)$
由于$X\sim N(5,4)$，则$\dfrac{X-5}{2}\sim N(0,1)$。因此，$P(1\lt X\leqslant 7)=P(-2\lt \dfrac{X-5}{2}\leqslant 1)$。根据题目中给出的$\Phi(1)=0.8413$，$\Phi(2)=0.9972$，$\Phi(3)=0.9987$，可以计算$P(1\lt X\leqslant 7)=\Phi(1)-\Phi(-2)=\Phi(1)-[1-\Phi(2)]=0.8413-(1-0.9972)=0.8385$。
步骤 4：确定1-2X的分布
由于$X\sim N(5,4)$，则$-2X\sim N(-10,16)$，因此$1-2X\sim N(-9,16)$。