一家人才测评机构对随机抽取的 10 名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试,得到的自信心测试分数如下: 人员编号 方法 1 方法 2 1 78 71 2 63 44 3 72 61 4 89 84 5 91 74 6 49 51 7 68 55 8 76 60 9 85 77 10 55 39 构建两种方法平均自信心得分之差 的 95% 的置信区间。

考查要点：本题主要考查配对样本均值差的置信区间构建方法，需要掌握以下关键点：

1. 配对数据的处理：将两种方法的分数转化为每对的差值；
2. 差值的均值与标准差计算；
3. t分布的应用：根据自由度和置信度确定t值；
4. 置信区间的公式：$\bar{d} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s_d}{\sqrt{n}}$。

解题核心思路：

• 计算差值：对每组数据求方法1与方法2的差值；
• 求均值与标准差：计算差值的平均值$\bar{d}$和标准差$s_d$；
• 确定t值：根据自由度$n-1=9$和95%置信度查t表；
• 代入公式：计算置信区间上下限。

步骤1：计算差值

对每名经理人的两种方法分数求差值$d_i = \text{方法1} - \text{方法2}$：
$\begin{align*}d_1 &= 78 - 71 = 7, \\d_2 &= 63 - 44 = 19, \\d_3 &= 72 - 61 = 11, \\d_4 &= 89 - 84 = 5, \\d_5 &= 91 - 74 = 17, \\d_6 &= 49 - 51 = -2, \\d_7 &= 68 - 55 = 13, \\d_8 &= 76 - 60 = 16, \\d_9 &= 85 - 77 = 8, \\d_{10} &= 55 - 39 = 16.\end{align*}$

步骤2：计算均值与标准差

• 平均差：$\bar{d} = \frac{7 + 19 + 11 + 5 + 17 - 2 + 13 + 16 + 8 + 16}{10} = 11$；
• 平方和：$\sum (d_i - \bar{d})^2 = 16 + 64 + 0 + 36 + 36 + 169 + 4 + 25 + 9 + 25 = 384$；
• 标准差：$s_d = \sqrt{\frac{384}{10 - 1}} \approx 6.533$。

步骤3：确定t值与标准误

• 自由度：$df = n - 1 = 9$；
• t值：查表得$t_{0.025} = 2.262$；
• 标准误：$\frac{s_d}{\sqrt{n}} = \frac{6.533}{\sqrt{10}} \approx 2.066$。

步骤4：计算置信区间

$\begin{align*}\text{置信区间} &= \bar{d} \pm t_{0.025} \cdot \frac{s_d}{\sqrt{n}} \\&= 11 \pm 2.262 \cdot 2.066 \\&\approx 11 \pm 4.667 \\&= (6.333, 15.667).\end{align*}$