题目

用机器包装小袋咖啡，已知咖啡重量服从正态分布八 (μ:σ^2 .，随机地抽取100袋咖啡件行测量，算的其样本均值八 (μ:σ^2 .，样本方差为八 (μ:σ^2 .。(附：八 (μ:σ^2 .八 (μ:σ^2 .八 (μ:σ^2 .)现对总体期望八 (μ:σ^2 .进行区间估计，用到的函数为（）.A. 八 (μ:σ^2 .B. 八 (μ:σ^2 .C. 八 (μ:σ^2 .D. 八 (μ:σ^2 .

用机器包装小袋咖啡，已知咖啡重量服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ ，随机地抽取100袋咖啡件行测量，算的其样本均值 $\overline{X}=500.5克$ ，样本方差为 $S^2=25$ 。

(附： $u_{0.1}=1.29,u_{0.05}=1.65,$

$u_{0.025}=1.96,t_{0.1}(99)=1.66,$

$t_{0.05}(99)=1.99,t_{0.025}(99)=2.37$ )

现对总体期望 $\mu$ 进行区间估计，用到的函数为（）.

A. $\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)$

B. $\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)$

C. $\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim t\left(n-1\right)$

D. $\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t\left(n-1\right)$

题目解答

由已知 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，则根据抽样分布定理可得，样本均值的抽样分布为： $\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}).$

将其标准化，有 $\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right).$

由于总体方差未知，故用样本方差去代替总体总体方差进行估计，又由于是大样本，则用Z检验统计量.

即 $Z=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right).$

综上：选择B.