题目
5、(10分)某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布 N(4.55,0.108^2)`现测得9炉铁-|||-水的平均含碳量为4.484,若已知方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含-|||-碳量仍为4.55( alpha =0.05 )?(注: _(0.95)=1.645 _(0.975)=1.96,-|||-_(0.975)(8)=2.3060, _(0.95)(8)=1.8595 )-|||-解: _(0):mu =4.55, _(1):mu neq 4.55 ......-|||-在原假设成立的条件下, dfrac (x-4.55)(0.108/sqrt {n)}sim N(0,1) ......-|||-已知 alpha =0.05, 则 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_ba19a2d36a9312310d17c4d32ff882a3.jpg-dfrac (a)(2)=1.96, 由 n=9 得拒绝域为:-|||-(l dfrac {overline {X)-4.55}(0.108/3)/gt 1.96 --------------------------|||-当 overline (X)=4.484 时, |dfrac (overline {X)-4.55}(0.108/3)|=dfrac (11)(6)=1.83lt 1.96 ......-|||-所以拒绝原假设,即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。
题目解答
答案
解析
步骤 1：设定假设
- 原假设 ${H}_{0}:\mu =4.55$，即铁水含碳量的平均值为4.55。
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \neq 4.55$，即铁水含碳量的平均值不为4.55。
步骤 2：确定检验统计量
- 由于方差已知，使用Z检验统计量。
- Z检验统计量的计算公式为：$Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是假设的总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 3：计算检验统计量
- 样本均值 $\overline{X} = 4.484$，总体均值 $\mu_0 = 4.55$，总体标准差 $\sigma = 0.108$，样本容量 $n = 9$。
- 计算Z值：$Z = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{-0.066}{0.108 / 3} = \frac{-0.066}{0.036} = -1.83$。
步骤 4：确定拒绝域
- 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $Z_{1-\frac{\alpha}{2}} = 1.96$。
- 拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
步骤 5：做出决策
- 计算得到的Z值为-1.83，落在拒绝域之外。
- 因此，不拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。
- 原假设 ${H}_{0}:\mu =4.55$，即铁水含碳量的平均值为4.55。
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \neq 4.55$，即铁水含碳量的平均值不为4.55。
步骤 2：确定检验统计量
- 由于方差已知，使用Z检验统计量。
- Z检验统计量的计算公式为：$Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是假设的总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 3：计算检验统计量
- 样本均值 $\overline{X} = 4.484$，总体均值 $\mu_0 = 4.55$，总体标准差 $\sigma = 0.108$，样本容量 $n = 9$。
- 计算Z值：$Z = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{-0.066}{0.108 / 3} = \frac{-0.066}{0.036} = -1.83$。
步骤 4：确定拒绝域
- 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $Z_{1-\frac{\alpha}{2}} = 1.96$。
- 拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
步骤 5：做出决策
- 计算得到的Z值为-1.83，落在拒绝域之外。
- 因此，不拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。