题目

1.分层随机抽样的平均数-|||-一般地,将样本a1,a 2,···,am和样本b1,b2,-|||-···,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平-|||-均数为 dfrac ({a)_(1)+(a)_(2)+... (a)_(m)+(b)_(1)+(b)_(2)+... +(b)_(n)}(m+n)=-|||-dfrac (m)(m+n)cdot dfrac ({a)_(1)+(a)_(2)+... +(a)_(m)}(m)+dfrac (n)(m+n)cdot dfrac ({b)_(1)+(b)_(2)+... +(b)_(n)}(n)-|||-于是,当已知上述两层构成的样本中每层的-|||-平均数分别为x1和x2时,可得这个新样本-|||-的平均数为 dfrac (m)(m+n)(x)_(1)+dfrac (n)(m+n)(overline {x)}_(2) --|||-记 (omega )_(1)=dfrac (m)(m+n) (omega )_(2)=dfrac (n)(m+n) ,则这个新样本的-|||-平均数为 __ ,其中w1,w2称-|||-为权重.-|||-更一般地,设样本中不同层的平均数和相应-|||-权重分别为x1,x2,···,xn和w1,w2,···,Wn,-|||-则这个样本的平均数为 (omega )_(1)(overline {{x)_(1)}}^2+(omega )_(2)overline ({x)_(2)}+... +-|||-wnx^n,为了简化表示,引进求和符号,记作-|||-(omega )_(1)(overline {{x)_(1)}+(omega )_(2)overline ({x)_(2)}+... +(omega )_(n)overline ({x)_(n)}= __ .-|||-2.分层随机抽样的方差-|||-设样本中不同层的平均数分别为x1,x2,···,-|||-xn,方差分别为 ^21 ,dfrac (2)(2) ,..., ^2 ,相应的权重分-|||-别为w1,w2,···,wn,则这个样本的方差为-|||-^2= __ ,其中x为样本的-|||-平均数.-|||-3.百分位数-|||-(1)一般地,当总体是连续变量时,给定一个-|||-百分数 in (0,1) ,总体的p分位数有这样的1.分层随机抽样的平均数-|||-一般地,将样本a1,a 2,···,am和样本b1,b2,-|||-···,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平-|||-均数为 dfrac ({a)_(1)+(a)_(2)+... (a)_(m)+(b)_(1)+(b)_(2)+... +(b)_(n)}(m+n)=-|||-dfrac (m)(m+n)cdot dfrac ({a)_(1)+(a)_(2)+... +(a)_(m)}(m)+dfrac (n)(m+n)cdot dfrac ({b)_(1)+(b)_(2)+... +(b)_(n)}(n)-|||-于是,当已知上述两层构成的样本中每层的-|||-平均数分别为x1和x2时,可得这个新样本-|||-的平均数为 dfrac (m)(m+n)(x)_(1)+dfrac (n)(m+n)(overline {x)}_(2) --|||-记 (omega )_(1)=dfrac (m)(m+n) (omega )_(2)=dfrac (n)(m+n) ,则这个新样本的-|||-平均数为 __ ,其中w1,w2称-|||-为权重.-|||-更一般地,设样本中不同层的平均数和相应-|||-权重分别为x1,x2,···,xn和w1,w2,···,Wn,-|||-则这个样本的平均数为 (omega )_(1)(overline {{x)_(1)}}^2+(omega )_(2)overline ({x)_(2)}+... +-|||-wnx^n,为了简化表示,引进求和符号,记作-|||-(omega )_(1)(overline {{x)_(1)}+(omega )_(2)overline ({x)_(2)}+... +(omega )_(n)overline ({x)_(n)}= __ .-|||-2.分层随机抽样的方差-|||-设样本中不同层的平均数分别为x1,x2,···,-|||-xn,方差分别为 ^21 ,dfrac (2)(2) ,..., ^2 ,相应的权重分-|||-别为w1,w2,···,wn,则这个样本的方差为-|||-^2= __ ,其中x为样本的-|||-平均数.-|||-3.百分位数-|||-(1)一般地,当总体是连续变量时,给定一个-|||-百分数 in (0,1) ,总体的p分位数有这样的


题目解答

答案

解析

分层随机抽样的平均数与方差：

  1. 平均数：合并两层样本的平均数时，需按各层样本量的比例（权重）加权平均。
  2. 方差：合并方差时，需考虑各层内部方差及各层均值与总均值的差异。
    百分位数：
  3. 定义：p分位数将数据分为四部分，每部分概率均等，25%、50%、75%分位数称为四分位数。
  4. 计算步骤：排序数据→计算位置指标i→根据i是否为整数确定分位数位置。

1. 分层随机抽样的平均数

关键思路：合并后的平均数是各层平均数的加权平均，权重为各层样本量占总样本量的比例。

  • 公式推导：
    $\text{新样本平均数} = \omega_1 \overline{x}_1 + \omega_2 \overline{x}_2$
    其中 $\omega_1 = \dfrac{m}{m+n}$，$\omega_2 = \dfrac{n}{m+n}$。
  • 求和符号表示：
    $\sum_{i=1}^{n} \omega_i \overline{x}_i$

2. 分层随机抽样的方差

关键公式：
$s^2 = \sum_{i=1}^{n} \omega_i \left[ s_i^2 + (\overline{x}_i - \overline{x})^2 \right]$
解释：总方差由各层内部方差（$s_i^2$）和各层均值与总均值的差异共同决定。

3. 百分位数

(1) 定义与性质

  • p分位数特点：数据中任意一个数小于或等于它的可能性为$p$。
  • 四分位数作用：将数据分为4个部分，每部分概率$\dfrac{1}{4}$，因此称为四分位数。

(2) 计算步骤

  1. 排序数据：按从小到大排列。
  2. 计算位置指标：$i = np$。
  3. 确定分位数：
    • 若$i$非整数，取大于$i$的最小整数$j$，分位数为第$j$项数据。
    • 若$i$是整数，分位数为第$i$项与第$(i+1)$项的平均数。