题目

设x1,x2,x3为来自正态总体x1,x2,x3的简单随机样本,其中x1,x2,x3为未知参数,下列不是无偏估计的是( )x1,x2,x3

设 $x_1,x_2,x_3$ 为来自正态总体 $N(\mu,1)$ 的简单随机样本,其中 $\mu$ 为未知参数,下列不是无偏估计的是( )

$\begin{array}{l} A、\frac{1}{3}x_1+\frac{2}{3}x_2 \\ B、\frac{1}{2}x_1 +\frac{1}{4}x_2+\frac{1}{4}x_3 \\ C、\frac{1}{6}x_1+\frac{1}{3}x_2 \\ D、\frac{1}{3}x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{3}x_3 \end{array}$

题目解答

答案

对于正态总体 $N(\mu,1)$ ，我们知道其期望值为 $\mu$ ，方差为1。对于简单随机样本 $x_1,x_2,x_3$ ，它们都是来自这个总体，所以它们的期望值都是 $\mu$ ，方差都是1。

无偏估计的定义是：如果一个估计量的期望值等于被估计的参数，那么这个估计量就是无偏的。所以我们只需要检查每个选项的期望值是否等于 $\mu$ 。

A、 $E(\frac{1}{3}x_1+\frac{2}{3}x_2)=\frac{1}{3}E(x_1)+\frac{2}{3}E(x_2)=\frac{1}{3}\mu+\frac{2}{3}\mu=\mu$

B、 $E(\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{4}x_2+\frac{1}{4}x_3)=\frac{1}{2}E(x_1)+\frac{1}{4}E(x_2)+\frac{1}{4}E(x_3)=\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{4}\mu+\frac{1}{4}\mu=\mu$

C、 $E(\frac{1}{6}x_1+\frac{1}{3}x_2)=\frac{1}{6}E(x_1)+\frac{1}{3}E(x_2)=\frac{1}{6}\mu+\frac{1}{3}\mu=\frac{1}{2}\mu$

D、 $E(\frac{1}{3}x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{3}x_3)=\frac{1}{3}E(x_1)+\frac{1}{3}E(x_2)+\frac{1}{3}E(x_3)=\frac{1}{3}\mu+\frac{1}{3}\mu+\frac{1}{3}\mu=\mu$

所以，选项C的期望值不等于 $\mu$ ，因此选项C不是无偏估计。

最后答案是：C。

解析

步骤 1：理解无偏估计的定义
无偏估计是指一个估计量的期望值等于被估计的参数。对于正态总体N(μ,1)，其期望值为μ，方差为1。对于简单随机样本x1,x2,x3，它们都是来自这个总体，所以它们的期望值都是μ，方差都是1。

步骤 2：计算每个选项的期望值
A、$(\dfrac {1}{3}{x}_{1}+\dfrac {2}{3}{x}_{2})=\dfrac {1}{3}E({x}_{1})+\dfrac {2}{3}E({x}_{2})=\dfrac {1}{3}\mu +\dfrac {2}{3}\mu =\mu $
B、$(\dfrac {1}{2}{x}_{1}+\dfrac {1}{2}{x}_{2})=\dfrac {1}{2}E({x}_{1})+\dfrac {1}{2}E({x}_{2})=\dfrac {1}{2}\mu +\dfrac {1}{2}\mu =\mu $
C、$(\dfrac {1}{6}{x}_{1}+\dfrac {1}{3}{x}_{2})=\dfrac {1}{6}E({x}_{1})+\dfrac {1}{3}E({x}_{2})=\dfrac {1}{6}\mu +\dfrac {1}{3}\mu =\dfrac {1}{2}\mu $
D、$(\dfrac {1}{4}{x}_{1}+\dfrac {1}{4}{x}_{2}+\dfrac {1}{2}{x}_{3})=\dfrac {1}{4}E({x}_{1})+\dfrac {1}{4}E({x}_{2})+\dfrac {1}{2}E({x}_{3})=\dfrac {1}{4}\mu +\dfrac {1}{4}\mu +\dfrac {1}{2}\mu =\mu $

步骤 3：判断哪个选项不是无偏估计
根据步骤2的计算结果，选项A、B、D的期望值都等于μ，因此它们都是无偏估计。而选项C的期望值为$\dfrac {1}{2}\mu$，不等于μ，因此选项C不是无偏估计。