函数 f(z) = x + 2yi 在复平面处处（）A. 不可导B. 不解析C. 连续D. 可导E. 解析

本题主要考查复变函数的连续性、可导性与解析性的相关知识。解题思路是先根据复变函数连续性的定义判断函数是否连续，再利用柯西 - 黎曼方程判断函数是否可导，最后根据解析性的定义判断函数是否解析。

1. 判断函数的连续性

对于复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中 $z = x + iy$，若 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0)$ 且 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)$，则函数 $f(z)$ 在 $z_0=x_0 + iy_0$ 处连续。
已知函数 $f(z)=x + 2yi$，这里 $u(x,y)=x$，$v(x,y)=2y$。
对于任意的 $(x_0,y_0)\in R^2$，有：
$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}x=x_0 = u(x_0,y_0)$
$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}2y=2y_0 = v(x_0,y_0)$
所以函数 $f(z)=x + 2yi$ 在复平面内处处连续。

2. 判断函数的可导性

复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在点 $z=x + iy$ 可导的充要条件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，且满足柯西 - 黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。
先求偏导数：
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (x)}{\partial x}=1$
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial (x)}{\partial y}=0$
$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (2y)}{\partial x}=0$
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (2y)}{\partial y}=2$
由于 $\frac{\partial u}{\partial x}=1\neq2=\frac{\partial v}{\partial y}$，不满足柯西 - 黎曼方程，所以函数 $f(z)=x + 2yi$ 在复平面内处处不可导。

3. 判断函数的解析性

若函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 及其某邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析；若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点解析，则称 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析。
因为函数 $f(z)=x + 2yi$ 在复平面内处处不可导，所以函数 $f(z)$ 在复平面内处处不解析。